Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10784 / 3616
↖ ↑ ↗
← N 70.377854°
E 56.953125°		 ← 820.49 m → N 70.377854°
E 56.975098°		 →
↑
820.65 m
↓
↑
820.65 m
↓
N 70.370474°
E 56.953125°		 ← 820.79 m →
673 457 m²		 N 70.370474°
E 56.975098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.658233642578125 y=0.220733642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.658233642578125 × 214)
    floor (0.658233642578125 × 16384)
    floor (10784.5)     		tx = 10784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220733642578125 × 214)
    floor (0.220733642578125 × 16384)
    floor (3616.5)     		ty = 3616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10784 / 3616 ti = "14/10784/3616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10784/3616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10784 ÷ 214
    10784 ÷ 16384     		x = 0.658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3616 ÷ 214
    3616 ÷ 16384     		y = 0.220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.658203125 × 2 - 1) × π
    0.31640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.99401955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.220703125 × 2 - 1) × π
    0.55859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.75487402129102
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.99401955} λ = 0.99401955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75487402129102))-π/2
    2×atan(5.78271919656833)-π/2
    2×1.39956079926889-π/2
    2.79912159853778-1.57079632675     		φ = 1.22832527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.99401955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22832527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.377854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10784 KachelY 3616 0.99401955 1.22832527 56.953125 70.377854
    Oben rechts KachelX + 1 10785 KachelY 3616 0.99440305 1.22832527 56.975098 70.377854
    Unten links KachelX 10784 KachelY + 1 3617 0.99401955 1.22819646 56.953125 70.370474
    Unten rechts KachelX + 1 10785 KachelY + 1 3617 0.99440305 1.22819646 56.975098 70.370474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22832527-1.22819646) × R
    0.00012881000000009 × 6371000     		dl = 820.648510000575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22832527-1.22819646) × R
    0.00012881000000009 × 6371000     		dr = 820.648510000575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.99401955-0.99440305) × cos(1.22832527) × R
    0.000383499999999981 × 0.335815671936321 × 6371000     		do = 820.491211205027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.99401955-0.99440305) × cos(1.22819646) × R
    0.000383499999999981 × 0.335936998859996 × 6371000     		du = 820.787646669113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22832527)-sin(1.22819646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335815671936321-0.335936998859996)×R²
    abs(0.99440305-0.99401955)×0.000121326923674892×R²
    0.000383499999999981×0.000121326923674892×6371000²
    0.000383499999999981×0.000121326923674892×40589641000000     		ar = 673456.525535665m²