Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10785 / 2591
↖ ↑ ↗
← N 76.684846°
E 56.975098°		 ← 562.69 m → N 76.684846°
E 56.997070°		 →
↑
562.75 m
↓
↑
562.75 m
↓
N 76.679785°
E 56.975098°		 ← 562.90 m →
316 713 m²		 N 76.679785°
E 56.997070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.658294677734375 y=0.158172607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.658294677734375 × 214)
    floor (0.658294677734375 × 16384)
    floor (10785.5)     		tx = 10785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158172607421875 × 214)
    floor (0.158172607421875 × 16384)
    floor (2591.5)     		ty = 2591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10785 / 2591 ti = "14/10785/2591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10785/2591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10785 ÷ 214
    10785 ÷ 16384     		x = 0.65826416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2591 ÷ 214
    2591 ÷ 16384     		y = 0.15814208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65826416015625 × 2 - 1) × π
    0.3165283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.99440305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15814208984375 × 2 - 1) × π
    0.6837158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.14795659817548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.99440305} λ = 0.99440305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14795659817548))-π/2
    2×atan(8.56733399266365)-π/2
    2×1.45459969060823-π/2
    2.90919938121646-1.57079632675     		φ = 1.33840305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.99440305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.975098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33840305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.684846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10785 KachelY 2591 0.99440305 1.33840305 56.975098 76.684846
    Oben rechts KachelX + 1 10786 KachelY 2591 0.99478654 1.33840305 56.997070 76.684846
    Unten links KachelX 10785 KachelY + 1 2592 0.99440305 1.33831472 56.975098 76.679785
    Unten rechts KachelX + 1 10786 KachelY + 1 2592 0.99478654 1.33831472 56.997070 76.679785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33840305-1.33831472) × R
    8.83299999998588e-05 × 6371000     		dl = 562.7504299991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33840305-1.33831472) × R
    8.83299999998588e-05 × 6371000     		dr = 562.7504299991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.99440305-0.99478654) × cos(1.33840305) × R
    0.000383490000000042 × 0.230307121598265 × 6371000     		do = 562.689765731272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.99440305-0.99478654) × cos(1.33831472) × R
    0.000383490000000042 × 0.230393076212091 × 6371000     		du = 562.899771315039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33840305)-sin(1.33831472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230307121598265-0.230393076212091)×R²
    abs(0.99478654-0.99440305)×8.59546138253231e-05×R²
    0.000383490000000042×8.59546138253231e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.59546138253231e-05×40589641000000     		ar = 316712.998194675m²