Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10815 / 2625
↖ ↑ ↗
← N 76.511695°
E 57.634277°		 ← 569.89 m → N 76.511695°
E 57.656250°		 →
↑
570.01 m
↓
↑
570.01 m
↓
N 76.506569°
E 57.634277°		 ← 570.10 m →
324 904 m²		 N 76.506569°
E 57.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.660125732421875 y=0.160247802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.660125732421875 × 214)
    floor (0.660125732421875 × 16384)
    floor (10815.5)     		tx = 10815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160247802734375 × 214)
    floor (0.160247802734375 × 16384)
    floor (2625.5)     		ty = 2625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10815 / 2625 ti = "14/10815/2625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10815/2625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10815 ÷ 214
    10815 ÷ 16384     		x = 0.66009521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2625 ÷ 214
    2625 ÷ 16384     		y = 0.16021728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.66009521484375 × 2 - 1) × π
    0.3201904296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.00590790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16021728515625 × 2 - 1) × π
    0.6795654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.13491776147882
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.00590790} λ = 1.00590790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13491776147882))-π/2
    2×atan(8.45635104046074)-π/2
    2×1.45308865847776-π/2
    2.90617731695551-1.57079632675     		φ = 1.33538099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.00590790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.634277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33538099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.511695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10815 KachelY 2625 1.00590790 1.33538099 57.634277 76.511695
    Oben rechts KachelX + 1 10816 KachelY 2625 1.00629140 1.33538099 57.656250 76.511695
    Unten links KachelX 10815 KachelY + 1 2626 1.00590790 1.33529152 57.634277 76.506569
    Unten rechts KachelX + 1 10816 KachelY + 1 2626 1.00629140 1.33529152 57.656250 76.506569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33538099-1.33529152) × R
    8.94700000000359e-05 × 6371000     		dl = 570.013370000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33538099-1.33529152) × R
    8.94700000000359e-05 × 6371000     		dr = 570.013370000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.00590790-1.00629140) × cos(1.33538099) × R
    0.000383500000000092 × 0.233246886407075 × 6371000     		do = 569.887102750485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.00590790-1.00629140) × cos(1.33529152) × R
    0.000383500000000092 × 0.233333887671529 × 6371000     		du = 570.099671069398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33538099)-sin(1.33529152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233246886407075-0.233333887671529)×R²
    abs(1.00629140-1.00590790)×8.70012644536011e-05×R²
    0.000383500000000092×8.70012644536011e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.70012644536011e-05×40589641000000     		ar = 324903.851568123m²