Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10816 / 2624
↖ ↑ ↗
← N 76.516819°
E 57.656250°		 ← 569.66 m → N 76.516819°
E 57.678223°		 →
↑
569.76 m
↓
↑
569.76 m
↓
N 76.511695°
E 57.656250°		 ← 569.87 m →
324 629 m²		 N 76.511695°
E 57.678223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.660186767578125 y=0.160186767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.660186767578125 × 214)
    floor (0.660186767578125 × 16384)
    floor (10816.5)     		tx = 10816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160186767578125 × 214)
    floor (0.160186767578125 × 16384)
    floor (2624.5)     		ty = 2624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10816 / 2624 ti = "14/10816/2624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10816/2624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10816 ÷ 214
    10816 ÷ 16384     		x = 0.66015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2624 ÷ 214
    2624 ÷ 16384     		y = 0.16015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.66015625 × 2 - 1) × π
    0.3203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.00629140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16015625 × 2 - 1) × π
    0.6796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.13530125667578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.00629140} λ = 1.00629140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13530125667578))-π/2
    2×atan(8.45959463237978)-π/2
    2×1.45313337466975-π/2
    2.90626674933949-1.57079632675     		φ = 1.33547042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.00629140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33547042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.516819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10816 KachelY 2624 1.00629140 1.33547042 57.656250 76.516819
    Oben rechts KachelX + 1 10817 KachelY 2624 1.00667489 1.33547042 57.678223 76.516819
    Unten links KachelX 10816 KachelY + 1 2625 1.00629140 1.33538099 57.656250 76.511695
    Unten rechts KachelX + 1 10817 KachelY + 1 2625 1.00667489 1.33538099 57.678223 76.511695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33547042-1.33538099) × R
    8.9430000000057e-05 × 6371000     		dl = 569.758530000363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33547042-1.33538099) × R
    8.9430000000057e-05 × 6371000     		dr = 569.758530000363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.00629140-1.00667489) × cos(1.33547042) × R
    0.000383489999999931 × 0.233159922173044 × 6371000     		do = 569.659770288328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.00629140-1.00667489) × cos(1.33538099) × R
    0.000383489999999931 × 0.233246886407075 × 6371000     		du = 569.872242591113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33547042)-sin(1.33538099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233159922173044-0.233246886407075)×R²
    abs(1.00667489-1.00629140)×8.69642340308174e-05×R²
    0.000383489999999931×8.69642340308174e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.69642340308174e-05×40589641000000     		ar = 324629.042489967m²