Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10817 / 2623
↖ ↑ ↗
← N 76.521941°
E 57.678223°		 ← 569.46 m → N 76.521941°
E 57.700195°		 →
↑
569.57 m
↓
↑
569.57 m
↓
N 76.516819°
E 57.678223°		 ← 569.67 m →
324 408 m²		 N 76.516819°
E 57.700195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.660247802734375 y=0.160125732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.660247802734375 × 214)
    floor (0.660247802734375 × 16384)
    floor (10817.5)     		tx = 10817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160125732421875 × 214)
    floor (0.160125732421875 × 16384)
    floor (2623.5)     		ty = 2623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10817 / 2623 ti = "14/10817/2623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10817/2623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10817 ÷ 214
    10817 ÷ 16384     		x = 0.66021728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2623 ÷ 214
    2623 ÷ 16384     		y = 0.16009521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.66021728515625 × 2 - 1) × π
    0.3204345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.00667489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16009521484375 × 2 - 1) × π
    0.6798095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.13568475187274
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.00667489} λ = 1.00667489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13568475187274))-π/2
    2×atan(8.46283946843928)-π/2
    2×1.45317807418904-π/2
    2.90635614837807-1.57079632675     		φ = 1.33555982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.00667489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.678223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33555982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.521941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10817 KachelY 2623 1.00667489 1.33555982 57.678223 76.521941
    Oben rechts KachelX + 1 10818 KachelY 2623 1.00705839 1.33555982 57.700195 76.521941
    Unten links KachelX 10817 KachelY + 1 2624 1.00667489 1.33547042 57.678223 76.516819
    Unten rechts KachelX + 1 10818 KachelY + 1 2624 1.00705839 1.33547042 57.700195 76.516819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33555982-1.33547042) × R
    8.94000000000172e-05 × 6371000     		dl = 569.56740000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33555982-1.33547042) × R
    8.94000000000172e-05 × 6371000     		dr = 569.56740000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.00667489-1.00705839) × cos(1.33555982) × R
    0.000383500000000092 × 0.233072985248042 × 6371000     		do = 569.462213787495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.00667489-1.00705839) × cos(1.33547042) × R
    0.000383500000000092 × 0.233159922173044 × 6371000     		du = 569.674624907209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33555982)-sin(1.33547042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233072985248042-0.233159922173044)×R²
    abs(1.00705839-1.00667489)×8.69369250022511e-05×R²
    0.000383500000000092×8.69369250022511e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.69369250022511e-05×40589641000000     		ar = 324407.603944466m²