Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10848 / 2528
↖ ↑ ↗
← N 76.999935°
E 58.359375°		 ← 549.62 m → N 76.999935°
E 58.381348°		 →
↑
549.69 m
↓
↑
549.69 m
↓
N 76.994992°
E 58.359375°		 ← 549.83 m →
302 177 m²		 N 76.994992°
E 58.381348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.662139892578125 y=0.154327392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.662139892578125 × 214)
    floor (0.662139892578125 × 16384)
    floor (10848.5)     		tx = 10848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154327392578125 × 214)
    floor (0.154327392578125 × 16384)
    floor (2528.5)     		ty = 2528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10848 / 2528 ti = "14/10848/2528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10848/2528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10848 ÷ 214
    10848 ÷ 16384     		x = 0.662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2528 ÷ 214
    2528 ÷ 16384     		y = 0.154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.662109375 × 2 - 1) × π
    0.32421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.01856324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154296875 × 2 - 1) × π
    0.69140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17211679558398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.01856324} λ = 1.01856324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17211679558398))-π/2
    2×atan(8.77684317373692)-π/2
    2×1.45734935920703-π/2
    2.91469871841407-1.57079632675     		φ = 1.34390239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.01856324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 58.359375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34390239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.999935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10848 KachelY 2528 1.01856324 1.34390239 58.359375 76.999935
    Oben rechts KachelX + 1 10849 KachelY 2528 1.01894674 1.34390239 58.381348 76.999935
    Unten links KachelX 10848 KachelY + 1 2529 1.01856324 1.34381611 58.359375 76.994992
    Unten rechts KachelX + 1 10849 KachelY + 1 2529 1.01894674 1.34381611 58.381348 76.994992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34390239-1.34381611) × R
    8.62800000001052e-05 × 6371000     		dl = 549.68988000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34390239-1.34381611) × R
    8.62800000001052e-05 × 6371000     		dr = 549.68988000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.01856324-1.01894674) × cos(1.34390239) × R
    0.000383500000000092 × 0.224952159314094 × 6371000     		do = 549.620774380833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.01856324-1.01894674) × cos(1.34381611) × R
    0.000383500000000092 × 0.225036227103871 × 6371000     		du = 549.826175404137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34390239)-sin(1.34381611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224952159314094-0.225036227103871)×R²
    abs(1.01894674-1.01856324)×8.40677897764319e-05×R²
    0.000383500000000092×8.40677897764319e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.40677897764319e-05×40589641000000     		ar = 302177.431135157m²