Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108544 / 108544
↖ ↑ ↗
← S 75.497157°
E118.125000°		 ← 76.49 m → S 75.497157°
E118.127747°		 →
↑
76.52 m
↓
↑
76.52 m
↓
S 75.497845°
E118.125000°		 ← 76.48 m →
5 852 m²		 S 75.497845°
E118.127747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 108544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828128814697266 y=0.828128814697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828128814697266 × 217)
    floor (0.828128814697266 × 131072)
    floor (108544.5)     		tx = 108544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.828128814697266 × 217)
    floor (0.828128814697266 × 131072)
    floor (108544.5)     		ty = 108544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108544 / 108544 ti = "17/108544/108544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108544/108544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108544 ÷ 217
    108544 ÷ 131072     		x = 0.828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 108544 ÷ 217
    108544 ÷ 131072     		y = 0.828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828125 × 2 - 1) × π
    0.65625 × 3.1415926535     		Λ = 2.06167018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.828125 × 2 - 1) × π
    -0.65625 × 3.1415926535     		Φ = -2.06167017885938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06167018} λ = 2.06167018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.06167017885938))-π/2
    2×atan(0.127241276636093)-π/2
    2×0.126561177849088-π/2
    0.253122355698176-1.57079632675     		φ = -1.31767397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06167018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.125000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.31767397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -75.497157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108544 KachelY 108544 2.06167018 -1.31767397 118.125000 -75.497157
    Oben rechts KachelX + 1 108545 KachelY 108544 2.06171812 -1.31767397 118.127747 -75.497157
    Unten links KachelX 108544 KachelY + 1 108545 2.06167018 -1.31768598 118.125000 -75.497845
    Unten rechts KachelX + 1 108545 KachelY + 1 108545 2.06171812 -1.31768598 118.127747 -75.497845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.31767397--1.31768598) × R
    1.20100000000622e-05 × 6371000     		dl = 76.5157100003966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.31767397--1.31768598) × R
    1.20100000000622e-05 × 6371000     		dr = 76.5157100003966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06167018-2.06171812) × cos(-1.31767397) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250428038638996 × 6371000     		do = 76.4871690180137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06167018-2.06171812) × cos(-1.31768598) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250416411316985 × 6371000     		du = 76.4836177345843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.31767397)-sin(-1.31768598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250428038638996-0.250416411316985)×R²
    abs(2.06171812-2.06167018)×1.1627322011043e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.1627322011043e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.1627322011043e-05×40589641000000     		ar = 5852.33417901342m²