Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10879 / 2689
↖ ↑ ↗
← N 76.179748°
E 59.040527°		 ← 583.64 m → N 76.179748°
E 59.062500°		 →
↑
583.71 m
↓
↑
583.71 m
↓
N 76.174498°
E 59.040527°		 ← 583.86 m →
340 742 m²		 N 76.174498°
E 59.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.664031982421875 y=0.164154052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.664031982421875 × 214)
    floor (0.664031982421875 × 16384)
    floor (10879.5)     		tx = 10879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164154052734375 × 214)
    floor (0.164154052734375 × 16384)
    floor (2689.5)     		ty = 2689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10879 / 2689 ti = "14/10879/2689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10879/2689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10879 ÷ 214
    10879 ÷ 16384     		x = 0.66400146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2689 ÷ 214
    2689 ÷ 16384     		y = 0.16412353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.66400146484375 × 2 - 1) × π
    0.3280029296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.03045159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16412353515625 × 2 - 1) × π
    0.6717529296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11037406887335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03045159} λ = 1.03045159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11037406887335))-π/2
    2×atan(8.25132727210108)-π/2
    2×1.45019187358772-π/2
    2.90038374717544-1.57079632675     		φ = 1.32958742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03045159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.040527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32958742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.179748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10879 KachelY 2689 1.03045159 1.32958742 59.040527 76.179748
    Oben rechts KachelX + 1 10880 KachelY 2689 1.03083509 1.32958742 59.062500 76.179748
    Unten links KachelX 10879 KachelY + 1 2690 1.03045159 1.32949580 59.040527 76.174498
    Unten rechts KachelX + 1 10880 KachelY + 1 2690 1.03083509 1.32949580 59.062500 76.174498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32958742-1.32949580) × R
    9.162000000007e-05 × 6371000     		dl = 583.711020000446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32958742-1.32949580) × R
    9.162000000007e-05 × 6371000     		dr = 583.711020000446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03045159-1.03083509) × cos(1.32958742) × R
    0.000383500000000092 × 0.238876709523153 × 6371000     		do = 583.642328528805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03045159-1.03083509) × cos(1.32949580) × R
    0.000383500000000092 × 0.238965676112716 × 6371000     		du = 583.859698684302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32958742)-sin(1.32949580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238876709523153-0.238965676112716)×R²
    abs(1.03083509-1.03045159)×8.89665895626723e-05×R²
    0.000383500000000092×8.89665895626723e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.89665895626723e-05×40589641000000     		ar = 340741.899817044m²