Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10880 / 1664
↖ ↑ ↗
← N 80.647035°
E 59.062500°		 ← 397.06 m → N 80.647035°
E 59.084472°		 →
↑
397.17 m
↓
↑
397.17 m
↓
N 80.643463°
E 59.062500°		 ← 397.21 m →
157 730 m²		 N 80.643463°
E 59.084472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.664093017578125 y=0.101593017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.664093017578125 × 214)
    floor (0.664093017578125 × 16384)
    floor (10880.5)     		tx = 10880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101593017578125 × 214)
    floor (0.101593017578125 × 16384)
    floor (1664.5)     		ty = 1664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10880 / 1664 ti = "14/10880/1664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10880/1664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10880 ÷ 214
    10880 ÷ 16384     		x = 0.6640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1664 ÷ 214
    1664 ÷ 16384     		y = 0.1015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6640625 × 2 - 1) × π
    0.328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.03083509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1015625 × 2 - 1) × π
    0.796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.50345664575781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03083509} λ = 1.03083509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50345664575781))-π/2
    2×atan(12.2246773913586)-π/2
    2×1.4891763075478-π/2
    2.9783526150956-1.57079632675     		φ = 1.40755629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03083509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40755629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.647035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10880 KachelY 1664 1.03083509 1.40755629 59.062500 80.647035
    Oben rechts KachelX + 1 10881 KachelY 1664 1.03121858 1.40755629 59.084472 80.647035
    Unten links KachelX 10880 KachelY + 1 1665 1.03083509 1.40749395 59.062500 80.643463
    Unten rechts KachelX + 1 10881 KachelY + 1 1665 1.03121858 1.40749395 59.084472 80.643463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40755629-1.40749395) × R
    6.23399999999386e-05 × 6371000     		dl = 397.168139999609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40755629-1.40749395) × R
    6.23399999999386e-05 × 6371000     		dr = 397.168139999609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03083509-1.03121858) × cos(1.40755629) × R
    0.000383489999999931 × 0.162516017493157 × 6371000     		do = 397.061537551109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03083509-1.03121858) × cos(1.40749395) × R
    0.000383489999999931 × 0.162577528423479 × 6371000     		du = 397.211821965817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40755629)-sin(1.40749395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162516017493157-0.162577528423479)×R²
    abs(1.03121858-1.03083509)×6.15109303214179e-05×R²
    0.000383489999999931×6.15109303214179e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.15109303214179e-05×40589641000000     		ar = 157730.036477099m²