Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10881 / 2687
↖ ↑ ↗
← N 76.190241°
E 59.084472°		 ← 583.21 m → N 76.190241°
E 59.106445°		 →
↑
583.33 m
↓
↑
583.33 m
↓
N 76.184995°
E 59.084472°		 ← 583.43 m →
340 265 m²		 N 76.184995°
E 59.106445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.664154052734375 y=0.164031982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.664154052734375 × 214)
    floor (0.664154052734375 × 16384)
    floor (10881.5)     		tx = 10881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164031982421875 × 214)
    floor (0.164031982421875 × 16384)
    floor (2687.5)     		ty = 2687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10881 / 2687 ti = "14/10881/2687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10881/2687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10881 ÷ 214
    10881 ÷ 16384     		x = 0.66412353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2687 ÷ 214
    2687 ÷ 16384     		y = 0.16400146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.66412353515625 × 2 - 1) × π
    0.3282470703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.03121858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16400146484375 × 2 - 1) × π
    0.6719970703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11114105926727
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03121858} λ = 1.03121858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11114105926727))-π/2
    2×atan(8.25765838849824)-π/2
    2×1.4502834475521-π/2
    2.9005668951042-1.57079632675     		φ = 1.32977057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03121858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.084472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32977057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.190241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10881 KachelY 2687 1.03121858 1.32977057 59.084472 76.190241
    Oben rechts KachelX + 1 10882 KachelY 2687 1.03160208 1.32977057 59.106445 76.190241
    Unten links KachelX 10881 KachelY + 1 2688 1.03121858 1.32967901 59.084472 76.184995
    Unten rechts KachelX + 1 10882 KachelY + 1 2688 1.03160208 1.32967901 59.106445 76.184995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32977057-1.32967901) × R
    9.15599999999905e-05 × 6371000     		dl = 583.32875999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32977057-1.32967901) × R
    9.15599999999905e-05 × 6371000     		dr = 583.32875999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03121858-1.03160208) × cos(1.32977057) × R
    0.000383500000000092 × 0.238698857727649 × 6371000     		do = 583.207787060663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03121858-1.03160208) × cos(1.32967901) × R
    0.000383500000000092 × 0.238787770060559 × 6371000     		du = 583.425024652048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32977057)-sin(1.32967901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238698857727649-0.238787770060559)×R²
    abs(1.03160208-1.03121858)×8.89123329102237e-05×R²
    0.000383500000000092×8.89123329102237e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.89123329102237e-05×40589641000000     		ar = 340265.235953066m²