Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10884 / 2692
↖ ↑ ↗
← N 76.163992°
E 59.150391°		 ← 584.29 m → N 76.163992°
E 59.172364°		 →
↑
584.35 m
↓
↑
584.35 m
↓
N 76.158737°
E 59.150391°		 ← 584.51 m →
341 495 m²		 N 76.158737°
E 59.172364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.664337158203125 y=0.164337158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.664337158203125 × 214)
    floor (0.664337158203125 × 16384)
    floor (10884.5)     		tx = 10884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164337158203125 × 214)
    floor (0.164337158203125 × 16384)
    floor (2692.5)     		ty = 2692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10884 / 2692 ti = "14/10884/2692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10884/2692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10884 ÷ 214
    10884 ÷ 16384     		x = 0.664306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2692 ÷ 214
    2692 ÷ 16384     		y = 0.164306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.664306640625 × 2 - 1) × π
    0.32861328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.03236907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164306640625 × 2 - 1) × π
    0.67138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10922358328247
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03236907} λ = 1.03236907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10922358328247))-π/2
    2×atan(8.24183969767421)-π/2
    2×1.45005438469797-π/2
    2.90010876939593-1.57079632675     		φ = 1.32931244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03236907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.150391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32931244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.163992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10884 KachelY 2692 1.03236907 1.32931244 59.150391 76.163992
    Oben rechts KachelX + 1 10885 KachelY 2692 1.03275257 1.32931244 59.172364 76.163992
    Unten links KachelX 10884 KachelY + 1 2693 1.03236907 1.32922072 59.150391 76.158737
    Unten rechts KachelX + 1 10885 KachelY + 1 2693 1.03275257 1.32922072 59.172364 76.158737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32931244-1.32922072) × R
    9.17200000001284e-05 × 6371000     		dl = 584.348120000818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32931244-1.32922072) × R
    9.17200000001284e-05 × 6371000     		dr = 584.348120000818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03236907-1.03275257) × cos(1.32931244) × R
    0.00038349999999987 × 0.239143719791403 × 6371000     		do = 584.294708976161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03236907-1.03275257) × cos(1.32922072) × R
    0.00038349999999987 × 0.239232777454527 × 6371000     		du = 584.512301649732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32931244)-sin(1.32922072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239143719791403-0.239232777454527)×R²
    abs(1.03275257-1.03236907)×8.90576631236706e-05×R²
    0.00038349999999987×8.90576631236706e-05×6371000²
    0.00038349999999987×8.90576631236706e-05×40589641000000     		ar = 341495.089891398m²