Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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4 / 11 / 15
↖ ↑ ↗
← S 82.676285°
E 67.500000°		 ← 318.928 km → S 82.676285°
E 90.000000°		 →
↑
264.071 km
↓
↑
264.071 km
↓
S 85.051129°
E 67.500000°		 ← 215.830 km →
70 617 km²		 S 85.051129°
E 90.000000°
     

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 4 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.71875 y=0.96875 und der Vergrößerungsstufe zoom=4 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.71875 × 24)
    floor (0.71875 × 16)
    floor (11.5)     		tx = 11
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.96875 × 24)
    floor (0.96875 × 16)
    floor (15.5)     		ty = 15
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 4 / 11 / 15 ti = "4/11/15"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/4/11/15.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11 ÷ 24
    11 ÷ 16     		x = 0.6875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15 ÷ 24
    15 ÷ 16     		y = 0.9375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6875 × 2 - 1) × π
    0.375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17809725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9375 × 2 - 1) × π
    -0.875 × 3.1415926535     		Φ = -2.7488935718125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17809725} λ = 1.17809725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.7488935718125))-π/2
    2×atan(0.0639986319384598)-π/2
    2×0.0639114703077964-π/2
    0.127822940615593-1.57079632675     		φ = -1.44297339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17809725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44297339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.676285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11 KachelY 15 1.17809725 -1.44297339 67.500000 -82.676285
    Oben rechts KachelX + 1 12 KachelY 15 1.57079633 -1.44297339 90.000000 -82.676285
    Unten links KachelX 11 KachelY + 1 16 1.17809725 -1.48442223 67.500000 -85.051129
    Unten rechts KachelX + 1 12 KachelY + 1 16 1.57079633 -1.48442223 90.000000 -85.051129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44297339--1.48442223) × R
    0.0414488400000002 × 6371000     		dl = 264070.559640001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44297339--1.48442223) × R
    0.0414488400000002 × 6371000     		dr = 264070.559640001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17809725-1.57079633) × cos(-1.44297339) × R
    0.39269908 × 0.127475144203388 × 6371000     		do = 318928.258066148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17809725-1.57079633) × cos(-1.48442223) × R
    0.39269908 × 0.0862667380803361 × 6371000     		du = 215829.53035231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44297339)-sin(-1.48442223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127475144203388-0.0862667380803361)×R²
    abs(1.57079633-1.17809725)×0.0412084061230523×R²
    0.39269908×0.0412084061230523×6371000²
    0.39269908×0.0412084061230523×40589641000000     		ar = 70617004557.6995m²