Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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5 / 11 / 21
↖ ↑ ↗
← S 48.922499°
W 56.250000°		 ← 821.969 km → S 48.922499°
W 45.000000°		 →
↑
762.138 km
↓
↑
762.138 km
↓
S 55.776573°
W 56.250000°		 ← 703.557 km →
582 025 km²		 S 55.776573°
W 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 5 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359375 y=0.671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=5 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359375 × 25)
    floor (0.359375 × 32)
    floor (11.5)     		tx = 11
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671875 × 25)
    floor (0.671875 × 32)
    floor (21.5)     		ty = 21
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 5 / 11 / 21 ti = "5/11/21"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/5/11/21.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11 ÷ 25
    11 ÷ 32     		x = 0.34375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21 ÷ 25
    21 ÷ 32     		y = 0.65625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34375 × 2 - 1) × π
    -0.3125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65625 × 2 - 1) × π
    -0.3125 × 3.1415926535     		Φ = -0.98174770421875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98174770} λ = -0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.98174770421875))-π/2
    2×atan(0.374655738915071)-π/2
    2×0.358468818178126-π/2
    0.716937636356251-1.57079632675     		φ = -0.85385869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85385869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.922499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11 KachelY 21 -0.98174770 -0.85385869 -56.250000 -48.922499
    Oben rechts KachelX + 1 12 KachelY 21 -0.78539816 -0.85385869 -45.000000 -48.922499
    Unten links KachelX 11 KachelY + 1 22 -0.98174770 -0.97348484 -56.250000 -55.776573
    Unten rechts KachelX + 1 12 KachelY + 1 22 -0.78539816 -0.97348484 -45.000000 -55.776573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85385869--0.97348484) × R
    0.11962615 × 6371000     		dl = 762138.20165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85385869--0.97348484) × R
    0.11962615 × 6371000     		dr = 762138.20165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98174770--0.78539816) × cos(-0.85385869) × R
    0.19634954 × 0.657079281492828 × 6371000     		do = 821968.674628468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98174770--0.78539816) × cos(-0.97348484) × R
    0.19634954 × 0.562421509722991 × 6371000     		du = 703557.205272489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85385869)-sin(-0.97348484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657079281492828-0.562421509722991)×R²
    abs(-0.78539816--0.98174770)×0.0946577717698365×R²
    0.19634954×0.0946577717698365×6371000²
    0.19634954×0.0946577717698365×40589641000000     		ar = 582025025948.489m²