Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11007 / 1793
↖ ↑ ↗
← N 80.174965°
E 61.853027°		 ← 416.91 m → N 80.174965°
E 61.875000°		 →
↑
416.98 m
↓
↑
416.98 m
↓
N 80.171215°
E 61.853027°		 ← 417.07 m →
173 877 m²		 N 80.171215°
E 61.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.671844482421875 y=0.109466552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.671844482421875 × 214)
    floor (0.671844482421875 × 16384)
    floor (11007.5)     		tx = 11007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109466552734375 × 214)
    floor (0.109466552734375 × 16384)
    floor (1793.5)     		ty = 1793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11007 / 1793 ti = "14/11007/1793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11007/1793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11007 ÷ 214
    11007 ÷ 16384     		x = 0.67181396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1793 ÷ 214
    1793 ÷ 16384     		y = 0.10943603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.67181396484375 × 2 - 1) × π
    0.3436279296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.07953898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10943603515625 × 2 - 1) × π
    0.7811279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.45398576534991
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.07953898} λ = 1.07953898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45398576534991))-π/2
    2×atan(11.6346273205793)-π/2
    2×1.48505672001332-π/2
    2.97011344002664-1.57079632675     		φ = 1.39931711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.07953898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 61.853027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39931711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.174965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11007 KachelY 1793 1.07953898 1.39931711 61.853027 80.174965
    Oben rechts KachelX + 1 11008 KachelY 1793 1.07992247 1.39931711 61.875000 80.174965
    Unten links KachelX 11007 KachelY + 1 1794 1.07953898 1.39925166 61.853027 80.171215
    Unten rechts KachelX + 1 11008 KachelY + 1 1794 1.07992247 1.39925166 61.875000 80.171215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39931711-1.39925166) × R
    6.54499999999114e-05 × 6371000     		dl = 416.981949999436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39931711-1.39925166) × R
    6.54499999999114e-05 × 6371000     		dr = 416.981949999436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.07953898-1.07992247) × cos(1.39931711) × R
    0.000383490000000153 × 0.170640056982918 × 6371000     		do = 416.910310987273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.07953898-1.07992247) × cos(1.39925166) × R
    0.000383490000000153 × 0.170704546690468 × 6371000     		du = 417.067873194564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39931711)-sin(1.39925166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170640056982918-0.170704546690468)×R²
    abs(1.07992247-1.07953898)×6.44897075506579e-05×R²
    0.000383490000000153×6.44897075506579e-05×6371000²
    0.000383490000000153×6.44897075506579e-05×40589641000000     		ar = 173876.924810143m²