Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11008 / 2816
↖ ↑ ↗
← N 75.497157°
E 61.875000°		 ← 611.87 m → N 75.497157°
E 61.896973°		 →
↑
611.93 m
↓
↑
611.93 m
↓
N 75.491654°
E 61.875000°		 ← 612.09 m →
374 491 m²		 N 75.491654°
E 61.896973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.671905517578125 y=0.171905517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.671905517578125 × 214)
    floor (0.671905517578125 × 16384)
    floor (11008.5)     		tx = 11008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171905517578125 × 214)
    floor (0.171905517578125 × 16384)
    floor (2816.5)     		ty = 2816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11008 / 2816 ti = "14/11008/2816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11008/2816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11008 ÷ 214
    11008 ÷ 16384     		x = 0.671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2816 ÷ 214
    2816 ÷ 16384     		y = 0.171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.671875 × 2 - 1) × π
    0.34375 × 3.1415926535     		Λ = 1.07992247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171875 × 2 - 1) × π
    0.65625 × 3.1415926535     		Φ = 2.06167017885938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.07992247} λ = 1.07992247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06167017885938))-π/2
    2×atan(7.85908493247811)-π/2
    2×1.44423514894581-π/2
    2.88847029789162-1.57079632675     		φ = 1.31767397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.07992247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 61.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31767397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.497157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11008 KachelY 2816 1.07992247 1.31767397 61.875000 75.497157
    Oben rechts KachelX + 1 11009 KachelY 2816 1.08030597 1.31767397 61.896973 75.497157
    Unten links KachelX 11008 KachelY + 1 2817 1.07992247 1.31757792 61.875000 75.491654
    Unten rechts KachelX + 1 11009 KachelY + 1 2817 1.08030597 1.31757792 61.896973 75.491654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31767397-1.31757792) × R
    9.60500000000142e-05 × 6371000     		dl = 611.93455000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31767397-1.31757792) × R
    9.60500000000142e-05 × 6371000     		dr = 611.93455000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.07992247-1.08030597) × cos(1.31767397) × R
    0.00038349999999987 × 0.250428038638996 × 6371000     		do = 611.86544260362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.07992247-1.08030597) × cos(1.31757792) × R
    0.00038349999999987 × 0.250521026871225 × 6371000     		du = 612.092638752178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31767397)-sin(1.31757792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250428038638996-0.250521026871225)×R²
    abs(1.08030597-1.07992247)×9.29882322288633e-05×R²
    0.00038349999999987×9.29882322288633e-05×6371000²
    0.00038349999999987×9.29882322288633e-05×40589641000000     		ar = 374491.119154358m²