Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11008 / 3328
↖ ↑ ↗
← N 72.395706°
E 61.875000°		 ← 738.95 m → N 72.395706°
E 61.896973°		 →
↑
739.10 m
↓
↑
739.10 m
↓
N 72.389059°
E 61.875000°		 ← 739.22 m →
546 256 m²		 N 72.389059°
E 61.896973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.671905517578125 y=0.203155517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.671905517578125 × 214)
    floor (0.671905517578125 × 16384)
    floor (11008.5)     		tx = 11008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203155517578125 × 214)
    floor (0.203155517578125 × 16384)
    floor (3328.5)     		ty = 3328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11008 / 3328 ti = "14/11008/3328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11008/3328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11008 ÷ 214
    11008 ÷ 16384     		x = 0.671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3328 ÷ 214
    3328 ÷ 16384     		y = 0.203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.671875 × 2 - 1) × π
    0.34375 × 3.1415926535     		Λ = 1.07992247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.203125 × 2 - 1) × π
    0.59375 × 3.1415926535     		Φ = 1.86532063801563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.07992247} λ = 1.07992247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86532063801563))-π/2
    2×atan(6.45800623636149)-π/2
    2×1.41716987783131-π/2
    2.83433975566261-1.57079632675     		φ = 1.26354343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.07992247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 61.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26354343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.395706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11008 KachelY 3328 1.07992247 1.26354343 61.875000 72.395706
    Oben rechts KachelX + 1 11009 KachelY 3328 1.08030597 1.26354343 61.896973 72.395706
    Unten links KachelX 11008 KachelY + 1 3329 1.07992247 1.26342742 61.875000 72.389059
    Unten rechts KachelX + 1 11009 KachelY + 1 3329 1.08030597 1.26342742 61.896973 72.389059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26354343-1.26342742) × R
    0.000116009999999944 × 6371000     		dl = 739.099709999645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26354343-1.26342742) × R
    0.000116009999999944 × 6371000     		dr = 739.099709999645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.07992247-1.08030597) × cos(1.26354343) × R
    0.00038349999999987 × 0.302441330058417 × 6371000     		do = 738.948399242884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.07992247-1.08030597) × cos(1.26342742) × R
    0.00038349999999987 × 0.302551905043017 × 6371000     		du = 739.218564725394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26354343)-sin(1.26342742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302441330058417-0.302551905043017)×R²
    abs(1.08030597-1.07992247)×0.000110574984599543×R²
    0.00038349999999987×0.000110574984599543×6371000²
    0.00038349999999987×0.000110574984599543×40589641000000     		ar = 546256.387811765m²