Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11072 / 2880
↖ ↑ ↗
← N 75.140778°
E 63.281250°		 ← 626.55 m → N 75.140778°
E 63.303223°		 →
↑
626.72 m
↓
↑
626.72 m
↓
N 75.135142°
E 63.281250°		 ← 626.78 m →
392 741 m²		 N 75.135142°
E 63.303223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.675811767578125 y=0.175811767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.675811767578125 × 214)
    floor (0.675811767578125 × 16384)
    floor (11072.5)     		tx = 11072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.175811767578125 × 214)
    floor (0.175811767578125 × 16384)
    floor (2880.5)     		ty = 2880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11072 / 2880 ti = "14/11072/2880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11072/2880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11072 ÷ 214
    11072 ÷ 16384     		x = 0.67578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2880 ÷ 214
    2880 ÷ 16384     		y = 0.17578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.67578125 × 2 - 1) × π
    0.3515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.10446617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17578125 × 2 - 1) × π
    0.6484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.03712648625391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.10446617} λ = 1.10446617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.03712648625391))-π/2
    2×atan(7.66854184823222)-π/2
    2×1.44112515130493-π/2
    2.88225030260985-1.57079632675     		φ = 1.31145398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.10446617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 63.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31145398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.140778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11072 KachelY 2880 1.10446617 1.31145398 63.281250 75.140778
    Oben rechts KachelX + 1 11073 KachelY 2880 1.10484966 1.31145398 63.303223 75.140778
    Unten links KachelX 11072 KachelY + 1 2881 1.10446617 1.31135561 63.281250 75.135142
    Unten rechts KachelX + 1 11073 KachelY + 1 2881 1.10484966 1.31135561 63.303223 75.135142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31145398-1.31135561) × R
    9.83700000001253e-05 × 6371000     		dl = 626.715270000798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31145398-1.31135561) × R
    9.83700000001253e-05 × 6371000     		dr = 626.715270000798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.10446617-1.10484966) × cos(1.31145398) × R
    0.000383489999999931 × 0.256444946876806 × 6371000     		do = 626.550087030065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.10446617-1.10484966) × cos(1.31135561) × R
    0.000383489999999931 × 0.256540026028879 × 6371000     		du = 626.78238582063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31145398)-sin(1.31135561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.256444946876806-0.256540026028879)×R²
    abs(1.10484966-1.10446617)×9.50791520729077e-05×R²
    0.000383489999999931×9.50791520729077e-05×6371000²
    0.000383489999999931×9.50791520729077e-05×40589641000000     		ar = 392741.299877503m²