Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 111 / 239
↖ ↑ ↗
← S 82.494824°
W 23.906250°		 ← 20.424 km → S 82.494824°
W 22.500000°		 →
↑
20.178 km
↓
↑
20.178 km
↓
S 82.676285°
W 23.906250°		 ← 19.933 km →
407.155 km²		 S 82.676285°
W 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435546875 y=0.935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435546875 × 28)
    floor (0.435546875 × 256)
    floor (111.5)     		tx = 111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.935546875 × 28)
    floor (0.935546875 × 256)
    floor (239.5)     		ty = 239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 111 / 239 ti = "8/111/239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/111/239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 111 ÷ 28
    111 ÷ 256     		x = 0.43359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 239 ÷ 28
    239 ÷ 256     		y = 0.93359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43359375 × 2 - 1) × π
    -0.1328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.41724277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.93359375 × 2 - 1) × π
    -0.8671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.72434987920703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41724277} λ = -0.41724277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.72434987920703))-π/2
    2×atan(0.0655888295220959)-π/2
    2×0.0654950194636357-π/2
    0.130990038927271-1.57079632675     		φ = -1.43980629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41724277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43980629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.494824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 111 KachelY 239 -0.41724277 -1.43980629 -23.906250 -82.494824
    Oben rechts KachelX + 1 112 KachelY 239 -0.39269908 -1.43980629 -22.500000 -82.494824
    Unten links KachelX 111 KachelY + 1 240 -0.41724277 -1.44297339 -23.906250 -82.676285
    Unten rechts KachelX + 1 112 KachelY + 1 240 -0.39269908 -1.44297339 -22.500000 -82.676285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43980629--1.44297339) × R
    0.00316709999999998 × 6371000     		dl = 20177.5940999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43980629--1.44297339) × R
    0.00316709999999998 × 6371000     		dr = 20177.5940999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41724277--0.39269908) × cos(-1.43980629) × R
    0.02454369 × 0.130615761686591 × 6371000     		do = 20424.1056991228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41724277--0.39269908) × cos(-1.44297339) × R
    0.02454369 × 0.127475144203388 × 6371000     		du = 19933.0140987739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43980629)-sin(-1.44297339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130615761686591-0.127475144203388)×R²
    abs(-0.39269908--0.41724277)×0.00314061748320305×R²
    0.02454369×0.00314061748320305×6371000²
    0.02454369×0.00314061748320305×40589641000000     		ar = 407155131.495051m²