Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 111 / 47
↖ ↑ ↗
← N 74.402163°
W 23.906250°		 ← 42.045 km → N 74.402163°
W 22.500000°		 →
↑
42.545 km
↓
↑
42.545 km
↓
N 74.019543°
W 23.906250°		 ← 43.050 km →
1 810.19 km²		 N 74.019543°
W 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435546875 y=0.185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435546875 × 28)
    floor (0.435546875 × 256)
    floor (111.5)     		tx = 111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.185546875 × 28)
    floor (0.185546875 × 256)
    floor (47.5)     		ty = 47
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 111 / 47 ti = "8/111/47"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/111/47.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 111 ÷ 28
    111 ÷ 256     		x = 0.43359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47 ÷ 28
    47 ÷ 256     		y = 0.18359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43359375 × 2 - 1) × π
    -0.1328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.41724277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18359375 × 2 - 1) × π
    0.6328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.98803910104297
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41724277} λ = -0.41724277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.98803910104297))-π/2
    2×atan(7.30120279516622)-π/2
    2×1.43467951736315-π/2
    2.8693590347263-1.57079632675     		φ = 1.29856271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41724277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29856271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.402163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 111 KachelY 47 -0.41724277 1.29856271 -23.906250 74.402163
    Oben rechts KachelX + 1 112 KachelY 47 -0.39269908 1.29856271 -22.500000 74.402163
    Unten links KachelX 111 KachelY + 1 48 -0.41724277 1.29188474 -23.906250 74.019543
    Unten rechts KachelX + 1 112 KachelY + 1 48 -0.39269908 1.29188474 -22.500000 74.019543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29856271-1.29188474) × R
    0.00667796999999992 × 6371000     		dl = 42545.3468699995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29856271-1.29188474) × R
    0.00667796999999992 × 6371000     		dr = 42545.3468699995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41724277--0.39269908) × cos(1.29856271) × R
    0.02454369 × 0.268883464392247 × 6371000     		do = 42044.7289559949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41724277--0.39269908) × cos(1.29188474) × R
    0.02454369 × 0.275309459649329 × 6371000     		du = 43049.5480119649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29856271)-sin(1.29188474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.268883464392247-0.275309459649329)×R²
    abs(-0.39269908--0.41724277)×0.00642599525708237×R²
    0.02454369×0.00642599525708237×6371000²
    0.02454369×0.00642599525708237×40589641000000     		ar = 1810189492.29117m²