Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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7 / 111 / 51
↖ ↑ ↗
← N 34.307144°
E132.187500°		 ← 258.329 km → N 34.307144°
E135.000000°		 →
↑
261.862 km
↓
↑
261.862 km
↓
N 31.952162°
E132.187500°		 ← 265.353 km →
68 575.8 km²		 N 31.952162°
E135.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87109375 y=0.40234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87109375 × 27)
    floor (0.87109375 × 128)
    floor (111.5)     		tx = 111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40234375 × 27)
    floor (0.40234375 × 128)
    floor (51.5)     		ty = 51
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 111 / 51 ti = "7/111/51"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/111/51.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 111 ÷ 27
    111 ÷ 128     		x = 0.8671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51 ÷ 27
    51 ÷ 128     		y = 0.3984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8671875 × 2 - 1) × π
    0.734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.30710710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3984375 × 2 - 1) × π
    0.203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.638136007742187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30710710} λ = 2.30710710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.638136007742187))-π/2
    2×atan(1.89294914621298)-π/2
    2×1.0847844720137-π/2
    2.1695689440274-1.57079632675     		φ = 0.59877262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30710710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59877262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.307144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 111 KachelY 51 2.30710710 0.59877262 132.187500 34.307144
    Oben rechts KachelX + 1 112 KachelY 51 2.35619449 0.59877262 135.000000 34.307144
    Unten links KachelX 111 KachelY + 1 52 2.30710710 0.55767043 132.187500 31.952162
    Unten rechts KachelX + 1 112 KachelY + 1 52 2.35619449 0.55767043 135.000000 31.952162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59877262-0.55767043) × R
    0.0411021899999999 × 6371000     		dl = 261862.05249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59877262-0.55767043) × R
    0.0411021899999999 × 6371000     		dr = 261862.05249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30710710-2.35619449) × cos(0.59877262) × R
    0.04908739 × 0.826028023946516 × 6371000     		do = 258328.503246199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30710710-2.35619449) × cos(0.55767043) × R
    0.04908739 × 0.848490246343458 × 6371000     		du = 265353.243476757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59877262)-sin(0.55767043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.826028023946516-0.848490246343458)×R²
    abs(2.35619449-2.30710710)×0.0224622223969423×R²
    0.04908739×0.0224622223969423×6371000²
    0.04908739×0.0224622223969423×40589641000000     		ar = 68575843074.8102m²