Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11136 / 3456
↖ ↑ ↗
← N 71.524909°
E 64.687500°		 ← 774.26 m → N 71.524909°
E 64.709473°		 →
↑
774.40 m
↓
↑
774.40 m
↓
N 71.517945°
E 64.687500°		 ← 774.54 m →
599 689 m²		 N 71.517945°
E 64.709473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.679718017578125 y=0.210968017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.679718017578125 × 214)
    floor (0.679718017578125 × 16384)
    floor (11136.5)     		tx = 11136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210968017578125 × 214)
    floor (0.210968017578125 × 16384)
    floor (3456.5)     		ty = 3456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11136 / 3456 ti = "14/11136/3456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11136/3456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11136 ÷ 214
    11136 ÷ 16384     		x = 0.6796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3456 ÷ 214
    3456 ÷ 16384     		y = 0.2109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6796875 × 2 - 1) × π
    0.359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.12900986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2109375 × 2 - 1) × π
    0.578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.81623325280469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.12900986} λ = 1.12900986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81623325280469))-π/2
    2×atan(6.14865434880464)-π/2
    2×1.40957074333464-π/2
    2.81914148666927-1.57079632675     		φ = 1.24834516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.12900986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 64.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24834516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.524909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11136 KachelY 3456 1.12900986 1.24834516 64.687500 71.524909
    Oben rechts KachelX + 1 11137 KachelY 3456 1.12939336 1.24834516 64.709473 71.524909
    Unten links KachelX 11136 KachelY + 1 3457 1.12900986 1.24822361 64.687500 71.517945
    Unten rechts KachelX + 1 11137 KachelY + 1 3457 1.12939336 1.24822361 64.709473 71.517945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24834516-1.24822361) × R
    0.000121550000000026 × 6371000     		dl = 774.395050000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24834516-1.24822361) × R
    0.000121550000000026 × 6371000     		dr = 774.395050000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.12900986-1.12939336) × cos(1.24834516) × R
    0.00038349999999987 × 0.316892347631675 × 6371000     		do = 774.256259782734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.12900986-1.12939336) × cos(1.24822361) × R
    0.00038349999999987 × 0.317007630787244 × 6371000     		du = 774.537928638149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24834516)-sin(1.24822361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316892347631675-0.317007630787244)×R²
    abs(1.12939336-1.12900986)×0.000115283155569301×R²
    0.00038349999999987×0.000115283155569301×6371000²
    0.00038349999999987×0.000115283155569301×40589641000000     		ar = 599689.277230719m²