Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 112 / 16
↖ ↑ ↗
← N 79.171334°
E135.000000°		 ← 58.755 km → N 79.171334°
E137.812500°		 →
↑
60.193 km
↓
↑
60.193 km
↓
N 78.630006°
E135.000000°		 ← 61.654 km →
3 623.90 km²		 N 78.630006°
E137.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87890625 y=0.12890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87890625 × 27)
    floor (0.87890625 × 128)
    floor (112.5)     		tx = 112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12890625 × 27)
    floor (0.12890625 × 128)
    floor (16.5)     		ty = 16
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 112 / 16 ti = "7/112/16"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/112/16.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 112 ÷ 27
    112 ÷ 128     		x = 0.875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16 ÷ 27
    16 ÷ 128     		y = 0.125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875 × 2 - 1) × π
    0.75 × 3.1415926535     		Λ = 2.35619449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125 × 2 - 1) × π
    0.75 × 3.1415926535     		Φ = 2.356194490125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35619449} λ = 2.35619449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.356194490125))-π/2
    2×atan(10.5507240734872)-π/2
    2×1.47629839473139-π/2
    2.95259678946279-1.57079632675     		φ = 1.38180046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35619449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38180046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.171334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 112 KachelY 16 2.35619449 1.38180046 135.000000 79.171334
    Oben rechts KachelX + 1 113 KachelY 16 2.40528188 1.38180046 137.812500 79.171334
    Unten links KachelX 112 KachelY + 1 17 2.35619449 1.37235249 135.000000 78.630006
    Unten rechts KachelX + 1 113 KachelY + 1 17 2.40528188 1.37235249 137.812500 78.630006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38180046-1.37235249) × R
    0.00944797000000008 × 6371000     		dl = 60193.0168700005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38180046-1.37235249) × R
    0.00944797000000008 × 6371000     		dr = 60193.0168700005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35619449-2.40528188) × cos(1.38180046) × R
    0.04908739 × 0.187872736870527 × 6371000     		do = 58754.5234659892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35619449-2.40528188) × cos(1.37235249) × R
    0.04908739 × 0.197143947310492 × 6371000     		du = 61653.9625247199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38180046)-sin(1.37235249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187872736870527-0.197143947310492)×R²
    abs(2.40528188-2.35619449)×0.00927121043996501×R²
    0.04908739×0.00927121043996501×6371000²
    0.04908739×0.00927121043996501×40589641000000     		ar = 3623901971.34548m²