Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1121 / 991
↖ ↑ ↗
← N  5.790897°
E 17.050781°		 ← 19.446 km → N  5.790897°
E 17.226562°		 →
↑
19.449 km
↓
↑
19.449 km
↓
N  5.615986°
E 17.050781°		 ← 19.452 km →
378.273 km²		 N  5.615986°
E 17.226562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547607421875 y=0.484130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547607421875 × 211)
    floor (0.547607421875 × 2048)
    floor (1121.5)     		tx = 1121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.484130859375 × 211)
    floor (0.484130859375 × 2048)
    floor (991.5)     		ty = 991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1121 / 991 ti = "11/1121/991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1121/991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1121 ÷ 211
    1121 ÷ 2048     		x = 0.54736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 991 ÷ 211
    991 ÷ 2048     		y = 0.48388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54736328125 × 2 - 1) × π
    0.0947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29759227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48388671875 × 2 - 1) × π
    0.0322265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.101242731997559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29759227} λ = 0.29759227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.101242731997559))-π/2
    2×atan(1.10654520309543)-π/2
    2×0.83593327140994-π/2
    1.67186654281988-1.57079632675     		φ = 0.10107022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29759227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.050781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.10107022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.790897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1121 KachelY 991 0.29759227 0.10107022 17.050781 5.790897
    Oben rechts KachelX + 1 1122 KachelY 991 0.30066023 0.10107022 17.226562 5.790897
    Unten links KachelX 1121 KachelY + 1 992 0.29759227 0.09801744 17.050781 5.615986
    Unten rechts KachelX + 1 1122 KachelY + 1 992 0.30066023 0.09801744 17.226562 5.615986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.10107022-0.09801744) × R
    0.00305278 × 6371000     		dl = 19449.26138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.10107022-0.09801744) × R
    0.00305278 × 6371000     		dr = 19449.26138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29759227-0.30066023) × cos(0.10107022) × R
    0.00306795999999998 × 0.99489675175493 × 6371000     		do = 19446.2252067729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29759227-0.30066023) × cos(0.09801744) × R
    0.00306795999999998 × 0.995200135433612 × 6371000     		du = 19452.1551360136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.10107022)-sin(0.09801744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99489675175493-0.995200135433612)×R²
    abs(0.30066023-0.29759227)×0.000303383678682101×R²
    0.00306795999999998×0.000303383678682101×6371000²
    0.00306795999999998×0.000303383678682101×40589641000000     		ar = 378272677.04774m²