Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 11263 / 1023
↖ ↑ ↗
← N 82.679085°
E 67.478027°		 ← 311.34 m → N 82.679085°
E 67.500000°		 →
↑
311.35 m
↓
↑
311.35 m
↓
N 82.676285°
E 67.478027°		 ← 311.46 m →
96 954 m²		 N 82.676285°
E 67.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687469482421875 y=0.062469482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687469482421875 × 214)
    floor (0.687469482421875 × 16384)
    floor (11263.5)     		tx = 11263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.062469482421875 × 214)
    floor (0.062469482421875 × 16384)
    floor (1023.5)     		ty = 1023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11263 / 1023 ti = "14/11263/1023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11263/1023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11263 ÷ 214
    11263 ÷ 16384     		x = 0.68743896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1023 ÷ 214
    1023 ÷ 16384     		y = 0.06243896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68743896484375 × 2 - 1) × π
    0.3748779296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17771375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06243896484375 × 2 - 1) × π
    0.8751220703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.74927706700946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17771375} λ = 1.17771375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.74927706700946))-π/2
    2×atan(15.6313273962262)-π/2
    2×1.50690929489251-π/2
    3.01381858978503-1.57079632675     		φ = 1.44302226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17771375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.478027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44302226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.679085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11263 KachelY 1023 1.17771375 1.44302226 67.478027 82.679085
    Oben rechts KachelX + 1 11264 KachelY 1023 1.17809725 1.44302226 67.500000 82.679085
    Unten links KachelX 11263 KachelY + 1 1024 1.17771375 1.44297339 67.478027 82.676285
    Unten rechts KachelX + 1 11264 KachelY + 1 1024 1.17809725 1.44297339 67.500000 82.676285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44302226-1.44297339) × R
    4.88700000000897e-05 × 6371000     		dl = 311.350770000571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44302226-1.44297339) × R
    4.88700000000897e-05 × 6371000     		dr = 311.350770000571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17771375-1.17809725) × cos(1.44302226) × R
    0.000383500000000092 × 0.127426672744109 × 6371000     		do = 311.338849842293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17771375-1.17809725) × cos(1.44297339) × R
    0.000383500000000092 × 0.127475144203388 × 6371000     		du = 311.457279116613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44302226)-sin(1.44297339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127426672744109-0.127475144203388)×R²
    abs(1.17809725-1.17771375)×4.84714592793034e-05×R²
    0.000383500000000092×4.84714592793034e-05×6371000²
    0.000383500000000092×4.84714592793034e-05×40589641000000     		ar = 96954.0271718833m²