Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11263 / 21503
↖ ↑ ↗
← S 48.915280°
W 56.260986°		 ← 802.83 m → S 48.915280°
W 56.250000°		 →
↑
802.75 m
↓
↑
802.75 m
↓
S 48.922499°
W 56.260986°		 ← 802.71 m →
644 422 m²		 S 48.922499°
W 56.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343734741210938 y=0.656234741210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343734741210938 × 215)
    floor (0.343734741210938 × 32768)
    floor (11263.5)     		tx = 11263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656234741210938 × 215)
    floor (0.656234741210938 × 32768)
    floor (21503.5)     		ty = 21503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11263 / 21503 ti = "15/11263/21503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11263/21503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11263 ÷ 215
    11263 ÷ 32768     		x = 0.343719482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21503 ÷ 215
    21503 ÷ 32768     		y = 0.656219482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343719482421875 × 2 - 1) × π
    -0.31256103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98193945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656219482421875 × 2 - 1) × π
    -0.31243896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.98155595662027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98193945} λ = -0.98193945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.98155595662027))-π/2
    2×atan(0.374727585141215)-π/2
    2×0.358531819418145-π/2
    0.71706363883629-1.57079632675     		φ = -0.85373269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98193945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.260986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85373269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.915280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11263 KachelY 21503 -0.98193945 -0.85373269 -56.260986 -48.915280
    Oben rechts KachelX + 1 11264 KachelY 21503 -0.98174770 -0.85373269 -56.250000 -48.915280
    Unten links KachelX 11263 KachelY + 1 21504 -0.98193945 -0.85385869 -56.260986 -48.922499
    Unten rechts KachelX + 1 11264 KachelY + 1 21504 -0.98174770 -0.85385869 -56.250000 -48.922499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85373269--0.85385869) × R
    0.000126000000000071 × 6371000     		dl = 802.746000000449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85373269--0.85385869) × R
    0.000126000000000071 × 6371000     		dr = 802.746000000449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98193945--0.98174770) × cos(-0.85373269) × R
    0.000191750000000046 × 0.65717425778267 × 6371000     		do = 802.82986739712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98193945--0.98174770) × cos(-0.85385869) × R
    0.000191750000000046 × 0.657079281492828 × 6371000     		du = 802.71384063363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85373269)-sin(-0.85385869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65717425778267-0.657079281492828)×R²
    abs(-0.98174770--0.98193945)×9.49762898422302e-05×R²
    0.000191750000000046×9.49762898422302e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.49762898422302e-05×40589641000000     		ar = 644421.895576557m²