Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11263 / 23551
↖ ↑ ↗
← S 61.601172°
W 56.260986°		 ← 581.02 m → S 61.601172°
W 56.250000°		 →
↑
580.97 m
↓
↑
580.97 m
↓
S 61.606397°
W 56.260986°		 ← 580.92 m →
337 527 m²		 S 61.606397°
W 56.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343734741210938 y=0.718734741210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343734741210938 × 215)
    floor (0.343734741210938 × 32768)
    floor (11263.5)     		tx = 11263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718734741210938 × 215)
    floor (0.718734741210938 × 32768)
    floor (23551.5)     		ty = 23551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11263 / 23551 ti = "15/11263/23551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11263/23551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11263 ÷ 215
    11263 ÷ 32768     		x = 0.343719482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23551 ÷ 215
    23551 ÷ 32768     		y = 0.718719482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343719482421875 × 2 - 1) × π
    -0.31256103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98193945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718719482421875 × 2 - 1) × π
    -0.43743896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37425503830777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98193945} λ = -0.98193945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37425503830777))-π/2
    2×atan(0.253028021794258)-π/2
    2×0.247826529252025-π/2
    0.495653058504049-1.57079632675     		φ = -1.07514327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98193945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.260986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07514327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.601172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11263 KachelY 23551 -0.98193945 -1.07514327 -56.260986 -61.601172
    Oben rechts KachelX + 1 11264 KachelY 23551 -0.98174770 -1.07514327 -56.250000 -61.601172
    Unten links KachelX 11263 KachelY + 1 23552 -0.98193945 -1.07523446 -56.260986 -61.606397
    Unten rechts KachelX + 1 11264 KachelY + 1 23552 -0.98174770 -1.07523446 -56.250000 -61.606397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07514327--1.07523446) × R
    9.11899999997967e-05 × 6371000     		dl = 580.971489998705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07514327--1.07523446) × R
    9.11899999997967e-05 × 6371000     		dr = 580.971489998705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98193945--0.98174770) × cos(-1.07514327) × R
    0.000191750000000046 × 0.475606219478857 × 6371000     		do = 581.019225259626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98193945--0.98174770) × cos(-1.07523446) × R
    0.000191750000000046 × 0.475526001461152 × 6371000     		du = 580.92122778064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07514327)-sin(-1.07523446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475606219478857-0.475526001461152)×R²
    abs(-0.98174770--0.98193945)×8.02180177053025e-05×R²
    0.000191750000000046×8.02180177053025e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.02180177053025e-05×40589641000000     		ar = 337527.138380947m²