Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11263 / 3073
↖ ↑ ↗
← N 74.013493°
E 67.478027°		 ← 672.91 m → N 74.013493°
E 67.500000°		 →
↑
673.03 m
↓
↑
673.03 m
↓
N 74.007440°
E 67.478027°		 ← 673.15 m →
452 971 m²		 N 74.007440°
E 67.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687469482421875 y=0.187591552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687469482421875 × 214)
    floor (0.687469482421875 × 16384)
    floor (11263.5)     		tx = 11263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187591552734375 × 214)
    floor (0.187591552734375 × 16384)
    floor (3073.5)     		ty = 3073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11263 / 3073 ti = "14/11263/3073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11263/3073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11263 ÷ 214
    11263 ÷ 16384     		x = 0.68743896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3073 ÷ 214
    3073 ÷ 16384     		y = 0.18756103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68743896484375 × 2 - 1) × π
    0.3748779296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17771375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18756103515625 × 2 - 1) × π
    0.6248779296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.96311191324054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17771375} λ = 1.17771375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96311191324054))-π/2
    2×atan(7.12145396569057)-π/2
    2×1.43128773453415-π/2
    2.8625754690683-1.57079632675     		φ = 1.29177914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17771375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.478027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29177914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.013493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11263 KachelY 3073 1.17771375 1.29177914 67.478027 74.013493
    Oben rechts KachelX + 1 11264 KachelY 3073 1.17809725 1.29177914 67.500000 74.013493
    Unten links KachelX 11263 KachelY + 1 3074 1.17771375 1.29167350 67.478027 74.007440
    Unten rechts KachelX + 1 11264 KachelY + 1 3074 1.17809725 1.29167350 67.500000 74.007440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29177914-1.29167350) × R
    0.000105640000000129 × 6371000     		dl = 673.032440000822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29177914-1.29167350) × R
    0.000105640000000129 × 6371000     		dr = 673.032440000822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17771375-1.17809725) × cos(1.29177914) × R
    0.000383500000000092 × 0.275410977271602 × 6371000     		do = 672.905719431856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17771375-1.17809725) × cos(1.29167350) × R
    0.000383500000000092 × 0.275512530274568 × 6371000     		du = 673.153841700612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29177914)-sin(1.29167350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275410977271602-0.275512530274568)×R²
    abs(1.17809725-1.17771375)×0.000101553002965549×R²
    0.000383500000000092×0.000101553002965549×6371000²
    0.000383500000000092×0.000101553002965549×40589641000000     		ar = 452970.875828767m²