Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11264 / 1024
↖ ↑ ↗
← N 82.676285°
E 67.500000°		 ← 311.45 m → N 82.676285°
E 67.521973°		 →
↑
311.54 m
↓
↑
311.54 m
↓
N 82.673483°
E 67.500000°		 ← 311.57 m →
97 048 m²		 N 82.673483°
E 67.521973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687530517578125 y=0.062530517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687530517578125 × 214)
    floor (0.687530517578125 × 16384)
    floor (11264.5)     		tx = 11264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.062530517578125 × 214)
    floor (0.062530517578125 × 16384)
    floor (1024.5)     		ty = 1024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11264 / 1024 ti = "14/11264/1024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11264/1024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11264 ÷ 214
    11264 ÷ 16384     		x = 0.6875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1024 ÷ 214
    1024 ÷ 16384     		y = 0.0625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6875 × 2 - 1) × π
    0.375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17809725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0625 × 2 - 1) × π
    0.875 × 3.1415926535     		Φ = 2.7488935718125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17809725} λ = 1.17809725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.7488935718125))-π/2
    2×atan(15.6253340065392)-π/2
    2×1.5068848564871-π/2
    3.0137697129742-1.57079632675     		φ = 1.44297339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17809725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44297339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.676285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11264 KachelY 1024 1.17809725 1.44297339 67.500000 82.676285
    Oben rechts KachelX + 1 11265 KachelY 1024 1.17848074 1.44297339 67.521973 82.676285
    Unten links KachelX 11264 KachelY + 1 1025 1.17809725 1.44292449 67.500000 82.673483
    Unten rechts KachelX + 1 11265 KachelY + 1 1025 1.17848074 1.44292449 67.521973 82.673483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44297339-1.44292449) × R
    4.88999999999074e-05 × 6371000     		dl = 311.54189999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44297339-1.44292449) × R
    4.88999999999074e-05 × 6371000     		dr = 311.54189999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17809725-1.17848074) × cos(1.44297339) × R
    0.000383489999999931 × 0.127475144203388 × 6371000     		do = 311.449157675045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17809725-1.17848074) × cos(1.44292449) × R
    0.000383489999999931 × 0.127523645113288 × 6371000     		du = 311.567655815439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44297339)-sin(1.44292449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127475144203388-0.127523645113288)×R²
    abs(1.17848074-1.17809725)×4.85009098991906e-05×R²
    0.000383489999999931×4.85009098991906e-05×6371000²
    0.000383489999999931×4.85009098991906e-05×40589641000000     		ar = 97047.920921489m²