Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11264 / 11264
↖ ↑ ↗
← S 55.776573°
E 67.500000°		 ← 1 374.12 m → S 55.776573°
E 67.521973°		 →
↑
1 373.97 m
↓
↑
1 373.97 m
↓
S 55.788929°
E 67.500000°		 ← 1 373.68 m →
1 887 695 m²		 S 55.788929°
E 67.521973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687530517578125 y=0.687530517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687530517578125 × 214)
    floor (0.687530517578125 × 16384)
    floor (11264.5)     		tx = 11264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687530517578125 × 214)
    floor (0.687530517578125 × 16384)
    floor (11264.5)     		ty = 11264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11264 / 11264 ti = "14/11264/11264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11264/11264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11264 ÷ 214
    11264 ÷ 16384     		x = 0.6875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11264 ÷ 214
    11264 ÷ 16384     		y = 0.6875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6875 × 2 - 1) × π
    0.375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17809725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6875 × 2 - 1) × π
    -0.375 × 3.1415926535     		Φ = -1.1780972450625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17809725} λ = 1.17809725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1780972450625))-π/2
    2×atan(0.307863971338866)-π/2
    2×0.298655741079525-π/2
    0.597311482159051-1.57079632675     		φ = -0.97348484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17809725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97348484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.776573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11264 KachelY 11264 1.17809725 -0.97348484 67.500000 -55.776573
    Oben rechts KachelX + 1 11265 KachelY 11264 1.17848074 -0.97348484 67.521973 -55.776573
    Unten links KachelX 11264 KachelY + 1 11265 1.17809725 -0.97370050 67.500000 -55.788929
    Unten rechts KachelX + 1 11265 KachelY + 1 11265 1.17848074 -0.97370050 67.521973 -55.788929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97348484--0.97370050) × R
    0.000215659999999951 × 6371000     		dl = 1373.96985999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97348484--0.97370050) × R
    0.000215659999999951 × 6371000     		dr = 1373.96985999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17809725-1.17848074) × cos(-0.97348484) × R
    0.000383489999999931 × 0.562421509722991 × 6371000     		do = 1374.11655076909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17809725-1.17848074) × cos(-0.97370050) × R
    0.000383489999999931 × 0.562243178028038 × 6371000     		du = 1373.68084813446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97348484)-sin(-0.97370050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562421509722991-0.562243178028038)×R²
    abs(1.17848074-1.17809725)×0.00017833169495296×R²
    0.000383489999999931×0.00017833169495296×6371000²
    0.000383489999999931×0.00017833169495296×40589641000000     		ar = 1887695.41105712m²