Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11264 / 21504
↖ ↑ ↗
← S 48.922499°
W 56.250000°		 ← 802.67 m → S 48.922499°
W 56.239014°		 →
↑
802.62 m
↓
↑
802.62 m
↓
S 48.929717°
W 56.250000°		 ← 802.56 m →
644 193 m²		 S 48.929717°
W 56.239014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343765258789062 y=0.656265258789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343765258789062 × 215)
    floor (0.343765258789062 × 32768)
    floor (11264.5)     		tx = 11264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656265258789062 × 215)
    floor (0.656265258789062 × 32768)
    floor (21504.5)     		ty = 21504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11264 / 21504 ti = "15/11264/21504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11264/21504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11264 ÷ 215
    11264 ÷ 32768     		x = 0.34375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21504 ÷ 215
    21504 ÷ 32768     		y = 0.65625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34375 × 2 - 1) × π
    -0.3125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65625 × 2 - 1) × π
    -0.3125 × 3.1415926535     		Φ = -0.98174770421875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98174770} λ = -0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.98174770421875))-π/2
    2×atan(0.374655738915071)-π/2
    2×0.358468818178126-π/2
    0.716937636356251-1.57079632675     		φ = -0.85385869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85385869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.922499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11264 KachelY 21504 -0.98174770 -0.85385869 -56.250000 -48.922499
    Oben rechts KachelX + 1 11265 KachelY 21504 -0.98155596 -0.85385869 -56.239014 -48.922499
    Unten links KachelX 11264 KachelY + 1 21505 -0.98174770 -0.85398467 -56.250000 -48.929717
    Unten rechts KachelX + 1 11265 KachelY + 1 21505 -0.98155596 -0.85398467 -56.239014 -48.929717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85385869--0.85398467) × R
    0.00012597999999997 × 6371000     		dl = 802.618579999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85385869--0.85398467) × R
    0.00012597999999997 × 6371000     		dr = 802.618579999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98174770--0.98155596) × cos(-0.85385869) × R
    0.000191739999999996 × 0.657079281492828 × 6371000     		do = 802.671978112395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98174770--0.98155596) × cos(-0.85398467) × R
    0.000191739999999996 × 0.65698430984928 × 6371000     		du = 802.555963075644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85385869)-sin(-0.85398467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657079281492828-0.65698430984928)×R²
    abs(-0.98155596--0.98174770)×9.49716435477699e-05×R²
    0.000191739999999996×9.49716435477699e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.49716435477699e-05×40589641000000     		ar = 644192.886218299m²