Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 11264 / 3072
↖ ↑ ↗
← N 74.019543°
E 67.500000°		 ← 672.64 m → N 74.019543°
E 67.521973°		 →
↑
672.78 m
↓
↑
672.78 m
↓
N 74.013493°
E 67.500000°		 ← 672.89 m →
452 621 m²		 N 74.013493°
E 67.521973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687530517578125 y=0.187530517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687530517578125 × 214)
    floor (0.687530517578125 × 16384)
    floor (11264.5)     		tx = 11264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187530517578125 × 214)
    floor (0.187530517578125 × 16384)
    floor (3072.5)     		ty = 3072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11264 / 3072 ti = "14/11264/3072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11264/3072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11264 ÷ 214
    11264 ÷ 16384     		x = 0.6875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3072 ÷ 214
    3072 ÷ 16384     		y = 0.1875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6875 × 2 - 1) × π
    0.375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17809725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1875 × 2 - 1) × π
    0.625 × 3.1415926535     		Φ = 1.9634954084375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17809725} λ = 1.17809725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9634954084375))-π/2
    2×atan(7.12418553281975)-π/2
    2×1.43134053419385-π/2
    2.86268106838771-1.57079632675     		φ = 1.29188474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17809725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29188474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.019543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11264 KachelY 3072 1.17809725 1.29188474 67.500000 74.019543
    Oben rechts KachelX + 1 11265 KachelY 3072 1.17848074 1.29188474 67.521973 74.019543
    Unten links KachelX 11264 KachelY + 1 3073 1.17809725 1.29177914 67.500000 74.013493
    Unten rechts KachelX + 1 11265 KachelY + 1 3073 1.17848074 1.29177914 67.521973 74.013493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29188474-1.29177914) × R
    0.000105599999999928 × 6371000     		dl = 672.777599999541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29188474-1.29177914) × R
    0.000105599999999928 × 6371000     		dr = 672.777599999541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17809725-1.17848074) × cos(1.29188474) × R
    0.000383489999999931 × 0.275309459649329 × 6371000     		do = 672.640143642029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17809725-1.17848074) × cos(1.29177914) × R
    0.000383489999999931 × 0.275410977271602 × 6371000     		du = 672.888172998211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29188474)-sin(1.29177914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275309459649329-0.275410977271602)×R²
    abs(1.17848074-1.17809725)×0.000101517622272784×R²
    0.000383489999999931×0.000101517622272784×6371000²
    0.000383489999999931×0.000101517622272784×40589641000000     		ar = 452620.656221509m²