Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11266 / 3074
↖ ↑ ↗
← N 74.007440°
E 67.543946°		 ← 673.14 m → N 74.007440°
E 67.565918°		 →
↑
673.22 m
↓
↑
673.22 m
↓
N 74.001386°
E 67.543946°		 ← 673.38 m →
453 255 m²		 N 74.001386°
E 67.565918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687652587890625 y=0.187652587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687652587890625 × 214)
    floor (0.687652587890625 × 16384)
    floor (11266.5)     		tx = 11266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187652587890625 × 214)
    floor (0.187652587890625 × 16384)
    floor (3074.5)     		ty = 3074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11266 / 3074 ti = "14/11266/3074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11266/3074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11266 ÷ 214
    11266 ÷ 16384     		x = 0.6876220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3074 ÷ 214
    3074 ÷ 16384     		y = 0.1876220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6876220703125 × 2 - 1) × π
    0.375244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.17886424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1876220703125 × 2 - 1) × π
    0.624755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.96272841804358
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17886424} λ = 1.17886424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96272841804358))-π/2
    2×atan(7.11872344590343)-π/2
    2×1.43123491540552-π/2
    2.86246983081104-1.57079632675     		φ = 1.29167350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17886424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.543946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29167350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.007440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11266 KachelY 3074 1.17886424 1.29167350 67.543946 74.007440
    Oben rechts KachelX + 1 11267 KachelY 3074 1.17924773 1.29167350 67.565918 74.007440
    Unten links KachelX 11266 KachelY + 1 3075 1.17886424 1.29156783 67.543946 74.001386
    Unten rechts KachelX + 1 11267 KachelY + 1 3075 1.17924773 1.29156783 67.565918 74.001386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29167350-1.29156783) × R
    0.000105669999999947 × 6371000     		dl = 673.22356999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29167350-1.29156783) × R
    0.000105669999999947 × 6371000     		dr = 673.22356999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17886424-1.17924773) × cos(1.29167350) × R
    0.000383489999999931 × 0.275512530274568 × 6371000     		do = 673.136288797025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17886424-1.17924773) × cos(1.29156783) × R
    0.000383489999999931 × 0.275614109040917 × 6371000     		du = 673.384467541319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29167350)-sin(1.29156783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275512530274568-0.275614109040917)×R²
    abs(1.17924773-1.17886424)×0.00010157876634892×R²
    0.000383489999999931×0.00010157876634892×6371000²
    0.000383489999999931×0.00010157876634892×40589641000000     		ar = 453254.755751942m²