Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11272 / 15368
↖ ↑ ↗
← S 82.698659°
E 67.675781°		 ← 310.50 m → S 82.698659°
E 67.697754°		 →
↑
310.46 m
↓
↑
310.46 m
↓
S 82.701451°
E 67.675781°		 ← 310.38 m →
96 380 m²		 S 82.701451°
E 67.697754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688018798828125 y=0.938018798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688018798828125 × 214)
    floor (0.688018798828125 × 16384)
    floor (11272.5)     		tx = 11272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938018798828125 × 214)
    floor (0.938018798828125 × 16384)
    floor (15368.5)     		ty = 15368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11272 / 15368 ti = "14/11272/15368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11272/15368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11272 ÷ 214
    11272 ÷ 16384     		x = 0.68798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15368 ÷ 214
    15368 ÷ 16384     		y = 0.93798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68798828125 × 2 - 1) × π
    0.3759765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18116521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.93798828125 × 2 - 1) × π
    -0.8759765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.75196153338818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18116521} λ = 1.18116521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75196153338818))-π/2
    2×atan(0.0638025874769843)-π/2
    2×0.0637162230975115-π/2
    0.127432446195023-1.57079632675     		φ = -1.44336388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18116521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44336388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.698659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11272 KachelY 15368 1.18116521 -1.44336388 67.675781 -82.698659
    Oben rechts KachelX + 1 11273 KachelY 15368 1.18154870 -1.44336388 67.697754 -82.698659
    Unten links KachelX 11272 KachelY + 1 15369 1.18116521 -1.44341261 67.675781 -82.701451
    Unten rechts KachelX + 1 11273 KachelY + 1 15369 1.18154870 -1.44341261 67.697754 -82.701451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44336388--1.44341261) × R
    4.87300000000523e-05 × 6371000     		dl = 310.458830000333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44336388--1.44341261) × R
    4.87300000000523e-05 × 6371000     		dr = 310.458830000333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18116521-1.18154870) × cos(-1.44336388) × R
    0.000383489999999931 × 0.127087830203396 × 6371000     		do = 310.50286638189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18116521-1.18154870) × cos(-1.44341261) × R
    0.000383489999999931 × 0.127039495181309 × 6371000     		du = 310.384773541052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44336388)-sin(-1.44341261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127087830203396-0.127039495181309)×R²
    abs(1.18154870-1.18116521)×4.83350220872314e-05×R²
    0.000383489999999931×4.83350220872314e-05×6371000²
    0.000383489999999931×4.83350220872314e-05×40589641000000     		ar = 96380.0251451189m²