Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11272 / 3096
↖ ↑ ↗
← N 73.873716°
E 67.675781°		 ← 678.62 m → N 73.873716°
E 67.697754°		 →
↑
678.70 m
↓
↑
678.70 m
↓
N 73.867613°
E 67.675781°		 ← 678.87 m →
460 663 m²		 N 73.867613°
E 67.697754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688018798828125 y=0.188995361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688018798828125 × 214)
    floor (0.688018798828125 × 16384)
    floor (11272.5)     		tx = 11272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188995361328125 × 214)
    floor (0.188995361328125 × 16384)
    floor (3096.5)     		ty = 3096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11272 / 3096 ti = "14/11272/3096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11272/3096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11272 ÷ 214
    11272 ÷ 16384     		x = 0.68798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3096 ÷ 214
    3096 ÷ 16384     		y = 0.18896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68798828125 × 2 - 1) × π
    0.3759765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18116521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18896484375 × 2 - 1) × π
    0.6220703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.95429152371045
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18116521} λ = 1.18116521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95429152371045))-π/2
    2×atan(7.05891617697002)-π/2
    2×1.43006795558361-π/2
    2.86013591116722-1.57079632675     		φ = 1.28933958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18116521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28933958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.873716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11272 KachelY 3096 1.18116521 1.28933958 67.675781 73.873716
    Oben rechts KachelX + 1 11273 KachelY 3096 1.18154870 1.28933958 67.697754 73.873716
    Unten links KachelX 11272 KachelY + 1 3097 1.18116521 1.28923305 67.675781 73.867613
    Unten rechts KachelX + 1 11273 KachelY + 1 3097 1.18154870 1.28923305 67.697754 73.867613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28933958-1.28923305) × R
    0.000106530000000049 × 6371000     		dl = 678.702630000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28933958-1.28923305) × R
    0.000106530000000049 × 6371000     		dr = 678.702630000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18116521-1.18154870) × cos(1.28933958) × R
    0.000383489999999931 × 0.277755369269767 × 6371000     		do = 678.616026201683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18116521-1.18154870) × cos(1.28923305) × R
    0.000383489999999931 × 0.277857705933857 × 6371000     		du = 678.866056652948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28933958)-sin(1.28923305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.277755369269767-0.277857705933857)×R²
    abs(1.18154870-1.18116521)×0.000102336664090485×R²
    0.000383489999999931×0.000102336664090485×6371000²
    0.000383489999999931×0.000102336664090485×40589641000000     		ar = 460663.330341159m²