Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11276 / 3068
↖ ↑ ↗
← N 74.043723°
E 67.763672°		 ← 671.65 m → N 74.043723°
E 67.785644°		 →
↑
671.76 m
↓
↑
671.76 m
↓
N 74.037681°
E 67.763672°		 ← 671.90 m →
451 269 m²		 N 74.037681°
E 67.785644°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688262939453125 y=0.187286376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688262939453125 × 214)
    floor (0.688262939453125 × 16384)
    floor (11276.5)     		tx = 11276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187286376953125 × 214)
    floor (0.187286376953125 × 16384)
    floor (3068.5)     		ty = 3068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11276 / 3068 ti = "14/11276/3068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11276/3068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11276 ÷ 214
    11276 ÷ 16384     		x = 0.688232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3068 ÷ 214
    3068 ÷ 16384     		y = 0.187255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.688232421875 × 2 - 1) × π
    0.37646484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.18269919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187255859375 × 2 - 1) × π
    0.62548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.96502938922534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18269919} λ = 1.18269919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96502938922534))-π/2
    2×atan(7.13512228279368)-π/2
    2×1.4315515382751-π/2
    2.8631030765502-1.57079632675     		φ = 1.29230675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18269919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.763672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29230675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.043723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11276 KachelY 3068 1.18269919 1.29230675 67.763672 74.043723
    Oben rechts KachelX + 1 11277 KachelY 3068 1.18308268 1.29230675 67.785644 74.043723
    Unten links KachelX 11276 KachelY + 1 3069 1.18269919 1.29220131 67.763672 74.037681
    Unten rechts KachelX + 1 11277 KachelY + 1 3069 1.18308268 1.29220131 67.785644 74.037681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29230675-1.29220131) × R
    0.000105440000000012 × 6371000     		dl = 671.758240000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29230675-1.29220131) × R
    0.000105440000000012 × 6371000     		dr = 671.758240000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18269919-1.18308268) × cos(1.29230675) × R
    0.000383490000000153 × 0.274903733444816 × 6371000     		do = 671.648867378859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18269919-1.18308268) × cos(1.29220131) × R
    0.000383490000000153 × 0.275005109498433 × 6371000     		du = 671.896550852409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29230675)-sin(1.29220131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.274903733444816-0.275005109498433)×R²
    abs(1.18308268-1.18269919)×0.000101376053617208×R²
    0.000383490000000153×0.000101376053617208×6371000²
    0.000383490000000153×0.000101376053617208×40589641000000     		ar = 451268.853172026m²