Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1128 / 1064
↖ ↑ ↗
← S  7.013668°
E 18.281250°		 ← 19.400 km → S  7.013668°
E 18.457032°		 →
↑
19.396 km
↓
↑
19.396 km
↓
S  7.188101°
E 18.281250°		 ← 19.392 km →
376.208 km²		 S  7.188101°
E 18.457032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.551025390625 y=0.519775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.551025390625 × 211)
    floor (0.551025390625 × 2048)
    floor (1128.5)     		tx = 1128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.519775390625 × 211)
    floor (0.519775390625 × 2048)
    floor (1064.5)     		ty = 1064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1128 / 1064 ti = "11/1128/1064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1128/1064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1128 ÷ 211
    1128 ÷ 2048     		x = 0.55078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1064 ÷ 211
    1064 ÷ 2048     		y = 0.51953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55078125 × 2 - 1) × π
    0.1015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31906800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51953125 × 2 - 1) × π
    -0.0390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.122718463027344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31906800} λ = 0.31906800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.122718463027344))-π/2
    2×atan(0.884512650523422)-π/2
    2×0.724192364410406-π/2
    1.44838472882081-1.57079632675     		φ = -0.12241160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31906800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.12241160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.013668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1128 KachelY 1064 0.31906800 -0.12241160 18.281250 -7.013668
    Oben rechts KachelX + 1 1129 KachelY 1064 0.32213597 -0.12241160 18.457032 -7.013668
    Unten links KachelX 1128 KachelY + 1 1065 0.31906800 -0.12545603 18.281250 -7.188101
    Unten rechts KachelX + 1 1129 KachelY + 1 1065 0.32213597 -0.12545603 18.457032 -7.188101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.12241160--0.12545603) × R
    0.00304443 × 6371000     		dl = 19396.06353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.12241160--0.12545603) × R
    0.00304443 × 6371000     		dr = 19396.06353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31906800-0.32213597) × cos(-0.12241160) × R
    0.00306796999999998 × 0.992517051180543 × 6371000     		do = 19399.7748764784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31906800-0.32213597) × cos(-0.12545603) × R
    0.00306796999999998 × 0.992140708642255 × 6371000     		du = 19392.4188713493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.12241160)-sin(-0.12545603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992517051180543-0.992140708642255)×R²
    abs(0.32213597-0.31906800)×0.000376342538288221×R²
    0.00306796999999998×0.000376342538288221×6371000²
    0.00306796999999998×0.000376342538288221×40589641000000     		ar = 376208217.776027m²