Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11280 / 15376
↖ ↑ ↗
← S 82.720964°
E 67.851563°		 ← 309.56 m → S 82.720964°
E 67.873535°		 →
↑
309.50 m
↓
↑
309.50 m
↓
S 82.723748°
E 67.851563°		 ← 309.44 m →
95 791 m²		 S 82.723748°
E 67.873535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688507080078125 y=0.938507080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688507080078125 × 214)
    floor (0.688507080078125 × 16384)
    floor (11280.5)     		tx = 11280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938507080078125 × 214)
    floor (0.938507080078125 × 16384)
    floor (15376.5)     		ty = 15376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11280 / 15376 ti = "14/11280/15376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11280/15376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11280 ÷ 214
    11280 ÷ 16384     		x = 0.6884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15376 ÷ 214
    15376 ÷ 16384     		y = 0.9384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6884765625 × 2 - 1) × π
    0.376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18423317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9384765625 × 2 - 1) × π
    -0.876953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.75502949496387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18423317} λ = 1.18423317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75502949496387))-π/2
    2×atan(0.0636071435507032)-π/2
    2×0.0635215691379293-π/2
    0.127043138275859-1.57079632675     		φ = -1.44375319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18423317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.851563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44375319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.720964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11280 KachelY 15376 1.18423317 -1.44375319 67.851563 -82.720964
    Oben rechts KachelX + 1 11281 KachelY 15376 1.18461666 -1.44375319 67.873535 -82.720964
    Unten links KachelX 11280 KachelY + 1 15377 1.18423317 -1.44380177 67.851563 -82.723748
    Unten rechts KachelX + 1 11281 KachelY + 1 15377 1.18461666 -1.44380177 67.873535 -82.723748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44375319--1.44380177) × R
    4.85800000000758e-05 × 6371000     		dl = 309.503180000483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44375319--1.44380177) × R
    4.85800000000758e-05 × 6371000     		dr = 309.503180000483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18423317-1.18461666) × cos(-1.44375319) × R
    0.000383490000000153 × 0.126701667315055 × 6371000     		do = 309.559387501926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18423317-1.18461666) × cos(-1.44380177) × R
    0.000383490000000153 × 0.126653478678151 × 6371000     		du = 309.441652311532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44375319)-sin(-1.44380177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126701667315055-0.126653478678151)×R²
    abs(1.18461666-1.18423317)×4.81886369038953e-05×R²
    0.000383490000000153×4.81886369038953e-05×6371000²
    0.000383490000000153×4.81886369038953e-05×40589641000000     		ar = 95791.3951417506m²