Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11280 / 5136
↖ ↑ ↗
← N 55.578345°
E 67.851563°		 ← 1 381.10 m → N 55.578345°
E 67.873535°		 →
↑
1 381.36 m
↓
↑
1 381.36 m
↓
N 55.565922°
E 67.851563°		 ← 1 381.53 m →
1 908 095 m²		 N 55.565922°
E 67.873535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688507080078125 y=0.313507080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688507080078125 × 214)
    floor (0.688507080078125 × 16384)
    floor (11280.5)     		tx = 11280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313507080078125 × 214)
    floor (0.313507080078125 × 16384)
    floor (5136.5)     		ty = 5136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11280 / 5136 ti = "14/11280/5136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11280/5136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11280 ÷ 214
    11280 ÷ 16384     		x = 0.6884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5136 ÷ 214
    5136 ÷ 16384     		y = 0.3134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6884765625 × 2 - 1) × π
    0.376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18423317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3134765625 × 2 - 1) × π
    0.373046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.17196132191113
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18423317} λ = 1.18423317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17196132191113))-π/2
    2×atan(3.22831820449576)-π/2
    2×1.27041071705689-π/2
    2.54082143411379-1.57079632675     		φ = 0.97002511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18423317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.851563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97002511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.578345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11280 KachelY 5136 1.18423317 0.97002511 67.851563 55.578345
    Oben rechts KachelX + 1 11281 KachelY 5136 1.18461666 0.97002511 67.873535 55.578345
    Unten links KachelX 11280 KachelY + 1 5137 1.18423317 0.96980829 67.851563 55.565922
    Unten rechts KachelX + 1 11281 KachelY + 1 5137 1.18461666 0.96980829 67.873535 55.565922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97002511-0.96980829) × R
    0.000216820000000006 × 6371000     		dl = 1381.36022000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97002511-0.96980829) × R
    0.000216820000000006 × 6371000     		dr = 1381.36022000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18423317-1.18461666) × cos(0.97002511) × R
    0.000383490000000153 × 0.56527881810188 × 6371000     		do = 1381.09756886078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18423317-1.18461666) × cos(0.96980829) × R
    0.000383490000000153 × 0.565457659611341 × 6371000     		du = 1381.53451708176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97002511)-sin(0.96980829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56527881810188-0.565457659611341)×R²
    abs(1.18461666-1.18423317)×0.000178841509460459×R²
    0.000383490000000153×0.000178841509460459×6371000²
    0.000383490000000153×0.000178841509460459×40589641000000     		ar = 1908095.04048432m²