Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11281 / 3087
↖ ↑ ↗
← N 73.928553°
E 67.873535°		 ← 676.39 m → N 73.928553°
E 67.895508°		 →
↑
676.54 m
↓
↑
676.54 m
↓
N 73.922469°
E 67.873535°		 ← 676.64 m →
457 685 m²		 N 73.922469°
E 67.895508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688568115234375 y=0.188446044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688568115234375 × 214)
    floor (0.688568115234375 × 16384)
    floor (11281.5)     		tx = 11281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188446044921875 × 214)
    floor (0.188446044921875 × 16384)
    floor (3087.5)     		ty = 3087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11281 / 3087 ti = "14/11281/3087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11281/3087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11281 ÷ 214
    11281 ÷ 16384     		x = 0.68853759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3087 ÷ 214
    3087 ÷ 16384     		y = 0.18841552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68853759765625 × 2 - 1) × π
    0.3770751953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18461666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18841552734375 × 2 - 1) × π
    0.6231689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.95774298048309
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18461666} λ = 1.18461666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95774298048309))-π/2
    2×atan(7.08332181428987)-π/2
    2×1.4305464920606-π/2
    2.8610929841212-1.57079632675     		φ = 1.29029666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18461666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.873535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29029666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.928553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11281 KachelY 3087 1.18461666 1.29029666 67.873535 73.928553
    Oben rechts KachelX + 1 11282 KachelY 3087 1.18500016 1.29029666 67.895508 73.928553
    Unten links KachelX 11281 KachelY + 1 3088 1.18461666 1.29019047 67.873535 73.922469
    Unten rechts KachelX + 1 11282 KachelY + 1 3088 1.18500016 1.29019047 67.895508 73.922469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29029666-1.29019047) × R
    0.000106190000000117 × 6371000     		dl = 676.536490000746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29029666-1.29019047) × R
    0.000106190000000117 × 6371000     		dr = 676.536490000746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18461666-1.18500016) × cos(1.29029666) × R
    0.00038349999999987 × 0.276835821536281 × 6371000     		do = 676.387010789204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18461666-1.18500016) × cos(1.29019047) × R
    0.00038349999999987 × 0.276937859776176 × 6371000     		du = 676.636318626915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29029666)-sin(1.29019047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276835821536281-0.276937859776176)×R²
    abs(1.18500016-1.18461666)×0.000102038239894409×R²
    0.00038349999999987×0.000102038239894409×6371000²
    0.00038349999999987×0.000102038239894409×40589641000000     		ar = 457684.827515986m²