Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11288 / 3064
↖ ↑ ↗
← N 74.067866°
E 68.027344°		 ← 670.66 m → N 74.067866°
E 68.049316°		 →
↑
670.80 m
↓
↑
670.80 m
↓
N 74.061834°
E 68.027344°		 ← 670.91 m →
449 963 m²		 N 74.061834°
E 68.049316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.688995361328125 y=0.187042236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.688995361328125 × 214)
    floor (0.688995361328125 × 16384)
    floor (11288.5)     		tx = 11288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187042236328125 × 214)
    floor (0.187042236328125 × 16384)
    floor (3064.5)     		ty = 3064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11288 / 3064 ti = "14/11288/3064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11288/3064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11288 ÷ 214
    11288 ÷ 16384     		x = 0.68896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3064 ÷ 214
    3064 ÷ 16384     		y = 0.18701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68896484375 × 2 - 1) × π
    0.3779296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18730113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18701171875 × 2 - 1) × π
    0.6259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.96656337001318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18730113} λ = 1.18730113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96656337001318))-π/2
    2×atan(7.14607582240616)-π/2
    2×1.43176223138021-π/2
    2.86352446276042-1.57079632675     		φ = 1.29272814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18730113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.027344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29272814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.067866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11288 KachelY 3064 1.18730113 1.29272814 68.027344 74.067866
    Oben rechts KachelX + 1 11289 KachelY 3064 1.18768462 1.29272814 68.049316 74.067866
    Unten links KachelX 11288 KachelY + 1 3065 1.18730113 1.29262285 68.027344 74.061834
    Unten rechts KachelX + 1 11289 KachelY + 1 3065 1.18768462 1.29262285 68.049316 74.061834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29272814-1.29262285) × R
    0.000105289999999814 × 6371000     		dl = 670.802589998812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29272814-1.29262285) × R
    0.000105289999999814 × 6371000     		dr = 670.802589998812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18730113-1.18768462) × cos(1.29272814) × R
    0.000383489999999931 × 0.274498554466336 × 6371000     		do = 670.658928105653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18730113-1.18768462) × cos(1.29262285) × R
    0.000383489999999931 × 0.274599798493764 × 6371000     		du = 670.906289010863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29272814)-sin(1.29262285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.274498554466336-0.274599798493764)×R²
    abs(1.18768462-1.18730113)×0.000101244027427727×R²
    0.000383489999999931×0.000101244027427727×6371000²
    0.000383489999999931×0.000101244027427727×40589641000000     		ar = 449962.711562681m²