Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11312 / 3056
↖ ↑ ↗
← N 74.116047°
E 68.554687°		 ← 668.70 m → N 74.116047°
E 68.576660°		 →
↑
668.83 m
↓
↑
668.83 m
↓
N 74.110032°
E 68.554687°		 ← 668.95 m →
447 328 m²		 N 74.110032°
E 68.576660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.690460205078125 y=0.186553955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.690460205078125 × 214)
    floor (0.690460205078125 × 16384)
    floor (11312.5)     		tx = 11312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.186553955078125 × 214)
    floor (0.186553955078125 × 16384)
    floor (3056.5)     		ty = 3056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11312 / 3056 ti = "14/11312/3056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11312/3056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11312 ÷ 214
    11312 ÷ 16384     		x = 0.6904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3056 ÷ 214
    3056 ÷ 16384     		y = 0.1865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6904296875 × 2 - 1) × π
    0.380859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19650501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1865234375 × 2 - 1) × π
    0.626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.96963133158887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19650501} λ = 1.19650501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96963133158887))-π/2
    2×atan(7.16803337368528)-π/2
    2×1.43218268634546-π/2
    2.86436537269092-1.57079632675     		φ = 1.29356905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19650501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.554687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29356905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.116047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11312 KachelY 3056 1.19650501 1.29356905 68.554687 74.116047
    Oben rechts KachelX + 1 11313 KachelY 3056 1.19688851 1.29356905 68.576660 74.116047
    Unten links KachelX 11312 KachelY + 1 3057 1.19650501 1.29346407 68.554687 74.110032
    Unten rechts KachelX + 1 11313 KachelY + 1 3057 1.19688851 1.29346407 68.576660 74.110032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29356905-1.29346407) × R
    0.000104980000000143 × 6371000     		dl = 668.827580000913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29356905-1.29346407) × R
    0.000104980000000143 × 6371000     		dr = 668.827580000913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19650501-1.19688851) × cos(1.29356905) × R
    0.00038349999999987 × 0.273689848953736 × 6371000     		do = 668.700523616684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19650501-1.19688851) × cos(1.29346407) × R
    0.00038349999999987 × 0.27379081909913 × 6371000     		du = 668.947221802066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29356905)-sin(1.29346407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.273689848953736-0.27379081909913)×R²
    abs(1.19688851-1.19650501)×0.000100970145393509×R²
    0.00038349999999987×0.000100970145393509×6371000²
    0.00038349999999987×0.000100970145393509×40589641000000     		ar = 447327.85264163m²