Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11328 / 23616
↖ ↑ ↗
← S 61.938950°
W 55.546875°		 ← 574.67 m → S 61.938950°
W 55.535889°		 →
↑
574.60 m
↓
↑
574.60 m
↓
S 61.944118°
W 55.546875°		 ← 574.58 m →
330 180 m²		 S 61.944118°
W 55.535889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345718383789062 y=0.720718383789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345718383789062 × 215)
    floor (0.345718383789062 × 32768)
    floor (11328.5)     		tx = 11328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720718383789062 × 215)
    floor (0.720718383789062 × 32768)
    floor (23616.5)     		ty = 23616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11328 / 23616 ti = "15/11328/23616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11328/23616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11328 ÷ 215
    11328 ÷ 32768     		x = 0.345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23616 ÷ 215
    23616 ÷ 32768     		y = 0.720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345703125 × 2 - 1) × π
    -0.30859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96947586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720703125 × 2 - 1) × π
    -0.44140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.38671863220898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96947586} λ = -0.96947586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38671863220898))-π/2
    2×atan(0.249893954725289)-π/2
    2×0.244878853319384-π/2
    0.489757706638767-1.57079632675     		φ = -1.08103862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96947586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08103862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.938950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11328 KachelY 23616 -0.96947586 -1.08103862 -55.546875 -61.938950
    Oben rechts KachelX + 1 11329 KachelY 23616 -0.96928411 -1.08103862 -55.535889 -61.938950
    Unten links KachelX 11328 KachelY + 1 23617 -0.96947586 -1.08112881 -55.546875 -61.944118
    Unten rechts KachelX + 1 11329 KachelY + 1 23617 -0.96928411 -1.08112881 -55.535889 -61.944118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08103862--1.08112881) × R
    9.0190000000101e-05 × 6371000     		dl = 574.600490000644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08103862--1.08112881) × R
    9.0190000000101e-05 × 6371000     		dr = 574.600490000644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96947586--0.96928411) × cos(-1.08103862) × R
    0.000191749999999935 × 0.470412091102688 × 6371000     		do = 574.673874165425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96947586--0.96928411) × cos(-1.08112881) × R
    0.000191749999999935 × 0.470332501307076 × 6371000     		du = 574.576644147205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08103862)-sin(-1.08112881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.470412091102688-0.470332501307076)×R²
    abs(-0.96928411--0.96947586)×7.95897956123448e-05×R²
    0.000191749999999935×7.95897956123448e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.95897956123448e-05×40589641000000     		ar = 330179.955701677m²