Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11328 / 3136
↖ ↑ ↗
← N 73.627789°
E 68.906250°		 ← 688.68 m → N 73.627789°
E 68.928222°		 →
↑
688.83 m
↓
↑
688.83 m
↓
N 73.621594°
E 68.906250°		 ← 688.94 m →
474 475 m²		 N 73.621594°
E 68.928222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691436767578125 y=0.191436767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691436767578125 × 214)
    floor (0.691436767578125 × 16384)
    floor (11328.5)     		tx = 11328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191436767578125 × 214)
    floor (0.191436767578125 × 16384)
    floor (3136.5)     		ty = 3136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11328 / 3136 ti = "14/11328/3136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11328/3136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11328 ÷ 214
    11328 ÷ 16384     		x = 0.69140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3136 ÷ 214
    3136 ÷ 16384     		y = 0.19140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69140625 × 2 - 1) × π
    0.3828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.20264094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19140625 × 2 - 1) × π
    0.6171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.93895171583203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20264094} λ = 1.20264094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93895171583203))-π/2
    2×atan(6.9514600443149)-π/2
    2×1.42792183109354-π/2
    2.85584366218708-1.57079632675     		φ = 1.28504734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20264094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28504734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.627789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11328 KachelY 3136 1.20264094 1.28504734 68.906250 73.627789
    Oben rechts KachelX + 1 11329 KachelY 3136 1.20302443 1.28504734 68.928222 73.627789
    Unten links KachelX 11328 KachelY + 1 3137 1.20264094 1.28493922 68.906250 73.621594
    Unten rechts KachelX + 1 11329 KachelY + 1 3137 1.20302443 1.28493922 68.928222 73.621594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28504734-1.28493922) × R
    0.000108119999999934 × 6371000     		dl = 688.832519999578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28504734-1.28493922) × R
    0.000108119999999934 × 6371000     		dr = 688.832519999578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20264094-1.20302443) × cos(1.28504734) × R
    0.000383489999999931 × 0.281876146271479 × 6371000     		do = 688.683969518556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20264094-1.20302443) × cos(1.28493922) × R
    0.000383489999999931 × 0.281979880444246 × 6371000     		du = 688.93741438369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28504734)-sin(1.28493922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281876146271479-0.281979880444246)×R²
    abs(1.20302443-1.20264094)×0.000103734172767544×R²
    0.000383489999999931×0.000103734172767544×6371000²
    0.000383489999999931×0.000103734172767544×40589641000000     		ar = 474475.205202377m²