Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11329 / 3137
↖ ↑ ↗
← N 73.621594°
E 68.928222°		 ← 688.96 m → N 73.621594°
E 68.950195°		 →
↑
689.09 m
↓
↑
689.09 m
↓
N 73.615397°
E 68.928222°		 ← 689.21 m →
474 838 m²		 N 73.615397°
E 68.950195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691497802734375 y=0.191497802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691497802734375 × 214)
    floor (0.691497802734375 × 16384)
    floor (11329.5)     		tx = 11329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191497802734375 × 214)
    floor (0.191497802734375 × 16384)
    floor (3137.5)     		ty = 3137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11329 / 3137 ti = "14/11329/3137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11329/3137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11329 ÷ 214
    11329 ÷ 16384     		x = 0.69146728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3137 ÷ 214
    3137 ÷ 16384     		y = 0.19146728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69146728515625 × 2 - 1) × π
    0.3829345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.20302443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19146728515625 × 2 - 1) × π
    0.6170654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.93856822063507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20302443} λ = 1.20302443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93856822063507))-π/2
    2×atan(6.94879470388133)-π/2
    2×1.42786777207392-π/2
    2.85573554414785-1.57079632675     		φ = 1.28493922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20302443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.928222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28493922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.621594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11329 KachelY 3137 1.20302443 1.28493922 68.928222 73.621594
    Oben rechts KachelX + 1 11330 KachelY 3137 1.20340793 1.28493922 68.950195 73.621594
    Unten links KachelX 11329 KachelY + 1 3138 1.20302443 1.28483106 68.928222 73.615397
    Unten rechts KachelX + 1 11330 KachelY + 1 3138 1.20340793 1.28483106 68.950195 73.615397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28493922-1.28483106) × R
    0.000108160000000135 × 6371000     		dl = 689.087360000859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28493922-1.28483106) × R
    0.000108160000000135 × 6371000     		dr = 689.087360000859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20302443-1.20340793) × cos(1.28493922) × R
    0.000383500000000092 × 0.281979880444246 × 6371000     		do = 688.955379322163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20302443-1.20340793) × cos(1.28483106) × R
    0.000383500000000092 × 0.282083649696281 × 6371000     		du = 689.208916504619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28493922)-sin(1.28483106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281979880444246-0.282083649696281)×R²
    abs(1.20340793-1.20302443)×0.000103769252034203×R²
    0.000383500000000092×0.000103769252034203×6371000²
    0.000383500000000092×0.000103769252034203×40589641000000     		ar = 474837.798591379m²