Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 11396 / 3204
↖ ↑ ↗
← N 73.201317°
E 70.400391°		 ← 706.13 m → N 73.201317°
E 70.422363°		 →
↑
706.23 m
↓
↑
706.23 m
↓
N 73.194966°
E 70.400391°		 ← 706.39 m →
498 779 m²		 N 73.194966°
E 70.422363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.695587158203125 y=0.195587158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.695587158203125 × 214)
    floor (0.695587158203125 × 16384)
    floor (11396.5)     		tx = 11396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195587158203125 × 214)
    floor (0.195587158203125 × 16384)
    floor (3204.5)     		ty = 3204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11396 / 3204 ti = "14/11396/3204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11396/3204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11396 ÷ 214
    11396 ÷ 16384     		x = 0.695556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3204 ÷ 214
    3204 ÷ 16384     		y = 0.195556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.695556640625 × 2 - 1) × π
    0.39111328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.22871861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.195556640625 × 2 - 1) × π
    0.60888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.91287404243872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.22871861} λ = 1.22871861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91287404243872))-π/2
    2×atan(6.77252537973129)-π/2
    2×1.42420016335233-π/2
    2.84840032670466-1.57079632675     		φ = 1.27760400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.22871861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 70.400391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27760400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.201317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11396 KachelY 3204 1.22871861 1.27760400 70.400391 73.201317
    Oben rechts KachelX + 1 11397 KachelY 3204 1.22910211 1.27760400 70.422363 73.201317
    Unten links KachelX 11396 KachelY + 1 3205 1.22871861 1.27749315 70.400391 73.194966
    Unten rechts KachelX + 1 11397 KachelY + 1 3205 1.22910211 1.27749315 70.422363 73.194966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27760400-1.27749315) × R
    0.000110849999999996 × 6371000     		dl = 706.225349999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27760400-1.27749315) × R
    0.000110849999999996 × 6371000     		dr = 706.225349999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.22871861-1.22910211) × cos(1.27760400) × R
    0.00038349999999987 × 0.289009790447721 × 6371000     		do = 706.131407290182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.22871861-1.22910211) × cos(1.27749315) × R
    0.00038349999999987 × 0.289115908274643 × 6371000     		du = 706.390682695167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27760400)-sin(1.27749315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289009790447721-0.289115908274643)×R²
    abs(1.22910211-1.22871861)×0.000106117826921825×R²
    0.00038349999999987×0.000106117826921825×6371000²
    0.00038349999999987×0.000106117826921825×40589641000000     		ar = 498779.454202055m²