Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 114 / 114
↖ ↑ ↗
← N 19.311143°
W 19.687500°		 ← 147.570 km → N 19.311143°
W 18.281250°		 →
↑
148.157 km
↓
↑
148.157 km
↓
N 17.978733°
W 19.687500°		 ← 148.733 km →
21 950.7 km²		 N 17.978733°
W 18.281250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.447265625 y=0.447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.447265625 × 28)
    floor (0.447265625 × 256)
    floor (114.5)     		tx = 114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447265625 × 28)
    floor (0.447265625 × 256)
    floor (114.5)     		ty = 114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 114 / 114 ti = "8/114/114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/114/114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114 ÷ 28
    114 ÷ 256     		x = 0.4453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114 ÷ 28
    114 ÷ 256     		y = 0.4453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4453125 × 2 - 1) × π
    -0.109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34361170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4453125 × 2 - 1) × π
    0.109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.343611696476563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34361170} λ = -0.34361170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.343611696476563))-π/2
    2×atan(1.41003100918292)-π/2
    2×0.953919680328065-π/2
    1.90783936065613-1.57079632675     		φ = 0.33704303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34361170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33704303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.311143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114 KachelY 114 -0.34361170 0.33704303 -19.687500 19.311143
    Oben rechts KachelX + 1 115 KachelY 114 -0.31906800 0.33704303 -18.281250 19.311143
    Unten links KachelX 114 KachelY + 1 115 -0.34361170 0.31378809 -19.687500 17.978733
    Unten rechts KachelX + 1 115 KachelY + 1 115 -0.31906800 0.31378809 -18.281250 17.978733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33704303-0.31378809) × R
    0.02325494 × 6371000     		dl = 148157.22274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33704303-0.31378809) × R
    0.02325494 × 6371000     		dr = 148157.22274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34361170--0.31906800) × cos(0.33704303) × R
    0.0245437 × 0.94373665385257 × 6371000     		do = 147570.130701409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34361170--0.31906800) × cos(0.31378809) × R
    0.0245437 × 0.951171150272265 × 6371000     		du = 148732.647388532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33704303)-sin(0.31378809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94373665385257-0.951171150272265)×R²
    abs(-0.31906800--0.34361170)×0.00743449641969451×R²
    0.0245437×0.00743449641969451×6371000²
    0.0245437×0.00743449641969451×40589641000000     		ar = 21950687585.0078m²