Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11456 / 3136
↖ ↑ ↗
← N 73.627789°
E 71.718750°		 ← 688.70 m → N 73.627789°
E 71.740723°		 →
↑
688.83 m
↓
↑
688.83 m
↓
N 73.621594°
E 71.718750°		 ← 688.96 m →
474 488 m²		 N 73.621594°
E 71.740723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.699249267578125 y=0.191436767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.699249267578125 × 214)
    floor (0.699249267578125 × 16384)
    floor (11456.5)     		tx = 11456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191436767578125 × 214)
    floor (0.191436767578125 × 16384)
    floor (3136.5)     		ty = 3136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11456 / 3136 ti = "14/11456/3136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11456/3136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11456 ÷ 214
    11456 ÷ 16384     		x = 0.69921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3136 ÷ 214
    3136 ÷ 16384     		y = 0.19140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69921875 × 2 - 1) × π
    0.3984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.25172832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19140625 × 2 - 1) × π
    0.6171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.93895171583203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.25172832} λ = 1.25172832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93895171583203))-π/2
    2×atan(6.9514600443149)-π/2
    2×1.42792183109354-π/2
    2.85584366218708-1.57079632675     		φ = 1.28504734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.25172832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 71.718750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28504734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.627789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11456 KachelY 3136 1.25172832 1.28504734 71.718750 73.627789
    Oben rechts KachelX + 1 11457 KachelY 3136 1.25211182 1.28504734 71.740723 73.627789
    Unten links KachelX 11456 KachelY + 1 3137 1.25172832 1.28493922 71.718750 73.621594
    Unten rechts KachelX + 1 11457 KachelY + 1 3137 1.25211182 1.28493922 71.740723 73.621594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28504734-1.28493922) × R
    0.000108119999999934 × 6371000     		dl = 688.832519999578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28504734-1.28493922) × R
    0.000108119999999934 × 6371000     		dr = 688.832519999578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.25172832-1.25211182) × cos(1.28504734) × R
    0.000383500000000092 × 0.281876146271479 × 6371000     		do = 688.701927848125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.25172832-1.25211182) × cos(1.28493922) × R
    0.000383500000000092 × 0.281979880444246 × 6371000     		du = 688.955379322163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28504734)-sin(1.28493922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281876146271479-0.281979880444246)×R²
    abs(1.25211182-1.25172832)×0.000103734172767544×R²
    0.000383500000000092×0.000103734172767544×6371000²
    0.000383500000000092×0.000103734172767544×40589641000000     		ar = 474487.577760015m²