Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114560 / 49536
↖ ↑ ↗
← N 40.178873°
E134.648438°		 ← 233.31 m → N 40.178873°
E134.651184°		 →
↑
233.37 m
↓
↑
233.37 m
↓
N 40.176775°
E134.648438°		 ← 233.31 m →
54 448 m²		 N 40.176775°
E134.651184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874027252197266 y=0.377933502197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874027252197266 × 217)
    floor (0.874027252197266 × 131072)
    floor (114560.5)     		tx = 114560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.377933502197266 × 217)
    floor (0.377933502197266 × 131072)
    floor (49536.5)     		ty = 49536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114560 / 49536 ti = "17/114560/49536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114560/49536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114560 ÷ 217
    114560 ÷ 131072     		x = 0.8740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49536 ÷ 217
    49536 ÷ 131072     		y = 0.3779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8740234375 × 2 - 1) × π
    0.748046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.35005857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3779296875 × 2 - 1) × π
    0.244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.766990393920898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35005857} λ = 2.35005857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.766990393920898))-π/2
    2×atan(2.1532759796213)-π/2
    2×1.13602497792759-π/2
    2.27204995585519-1.57079632675     		φ = 0.70125363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35005857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.648438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70125363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.178873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114560 KachelY 49536 2.35005857 0.70125363 134.648438 40.178873
    Oben rechts KachelX + 1 114561 KachelY 49536 2.35010650 0.70125363 134.651184 40.178873
    Unten links KachelX 114560 KachelY + 1 49537 2.35005857 0.70121700 134.648438 40.176775
    Unten rechts KachelX + 1 114561 KachelY + 1 49537 2.35010650 0.70121700 134.651184 40.176775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70125363-0.70121700) × R
    3.6629999999982e-05 × 6371000     		dl = 233.369729999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70125363-0.70121700) × R
    3.6629999999982e-05 × 6371000     		dr = 233.369729999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35005857-2.35010650) × cos(0.70125363) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.764033975868385 × 6371000     		do = 233.306965860284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35005857-2.35010650) × cos(0.70121700) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.764057608153047 × 6371000     		du = 233.314182262702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70125363)-sin(0.70121700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764033975868385-0.764057608153047)×R²
    abs(2.35010650-2.35005857)×2.36322846625114e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36322846625114e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36322846625114e-05×40589641000000     		ar = 54447.625680791m²