Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114686 / 16382
↖ ↑ ↗
← N 79.172366°
E134.994507°		 ← 57.36 m → N 79.172366°
E134.997253°		 →
↑
57.34 m
↓
↑
57.34 m
↓
N 79.171851°
E134.994507°		 ← 57.37 m →
3 289 m²		 N 79.171851°
E134.997253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874988555908203 y=0.124988555908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874988555908203 × 217)
    floor (0.874988555908203 × 131072)
    floor (114686.5)     		tx = 114686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124988555908203 × 217)
    floor (0.124988555908203 × 131072)
    floor (16382.5)     		ty = 16382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114686 / 16382 ti = "17/114686/16382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114686/16382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114686 ÷ 217
    114686 ÷ 131072     		x = 0.874984741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16382 ÷ 217
    16382 ÷ 131072     		y = 0.124984741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874984741210938 × 2 - 1) × π
    0.749969482421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.35609862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124984741210938 × 2 - 1) × π
    0.750030517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.35629036392424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35609862} λ = 2.35609862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35629036392424))-π/2
    2×atan(10.5517356599804)-π/2
    2×1.47630740034377-π/2
    2.95261480068755-1.57079632675     		φ = 1.38181847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35609862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.994507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38181847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.172366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114686 KachelY 16382 2.35609862 1.38181847 134.994507 79.172366
    Oben rechts KachelX + 1 114687 KachelY 16382 2.35614655 1.38181847 134.997253 79.172366
    Unten links KachelX 114686 KachelY + 1 16383 2.35609862 1.38180947 134.994507 79.171851
    Unten rechts KachelX + 1 114687 KachelY + 1 16383 2.35614655 1.38180947 134.997253 79.171851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38181847-1.38180947) × R
    8.99999999992573e-06 × 6371000     		dl = 57.3389999995268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38181847-1.38180947) × R
    8.99999999992573e-06 × 6371000     		dr = 57.3389999995268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35609862-2.35614655) × cos(1.38181847) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.187855047537294 × 6371000     		do = 57.3637986617697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35609862-2.35614655) × cos(1.38180947) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.187863887300552 × 6371000     		du = 57.3664979898229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38181847)-sin(1.38180947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187855047537294-0.187863887300552)×R²
    abs(2.35614655-2.35609862)×8.83976325807834e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.83976325807834e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.83976325807834e-06×40589641000000     		ar = 3289.26023998548m²