Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114688 / 16384
↖ ↑ ↗
← N 79.171334°
E135.000000°		 ← 57.38 m → N 79.171334°
E135.002747°		 →
↑
57.34 m
↓
↑
57.34 m
↓
N 79.170819°
E135.000000°		 ← 57.38 m →
3 290 m²		 N 79.170819°
E135.002747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875003814697266 y=0.125003814697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875003814697266 × 217)
    floor (0.875003814697266 × 131072)
    floor (114688.5)     		tx = 114688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125003814697266 × 217)
    floor (0.125003814697266 × 131072)
    floor (16384.5)     		ty = 16384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114688 / 16384 ti = "17/114688/16384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114688/16384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114688 ÷ 217
    114688 ÷ 131072     		x = 0.875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16384 ÷ 217
    16384 ÷ 131072     		y = 0.125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875 × 2 - 1) × π
    0.75 × 3.1415926535     		Λ = 2.35619449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125 × 2 - 1) × π
    0.75 × 3.1415926535     		Φ = 2.356194490125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35619449} λ = 2.35619449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.356194490125))-π/2
    2×atan(10.5507240734872)-π/2
    2×1.47629839473139-π/2
    2.95259678946279-1.57079632675     		φ = 1.38180046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35619449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38180046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.171334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114688 KachelY 16384 2.35619449 1.38180046 135.000000 79.171334
    Oben rechts KachelX + 1 114689 KachelY 16384 2.35624243 1.38180046 135.002747 79.171334
    Unten links KachelX 114688 KachelY + 1 16385 2.35619449 1.38179146 135.000000 79.170819
    Unten rechts KachelX + 1 114689 KachelY + 1 16385 2.35624243 1.38179146 135.002747 79.170819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38180046-1.38179146) × R
    8.99999999992573e-06 × 6371000     		dl = 57.3389999995268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38180046-1.38179146) × R
    8.99999999992573e-06 × 6371000     		dr = 57.3389999995268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35619449-2.35624243) × cos(1.38180046) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187872736870527 × 6371000     		do = 57.3811696844684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35619449-2.35624243) × cos(1.38179146) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187881576603334 × 6371000     		du = 57.3838695664022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38180046)-sin(1.38179146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187872736870527-0.187881576603334)×R²
    abs(2.35624243-2.35619449)×8.83973280649264e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.83973280649264e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.83973280649264e-06×40589641000000     		ar = 3290.25629295544m²